Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lg

m-1 i=1 ix+mxa

m

，其中a∈R，m是給定的正整數(shù)，且m≥2，如果不等式f（x）＞（x-1）lgm在區(qū)間[1，+∞）有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：依據(jù)題意利用函數(shù)解析式，根據(jù)題設(shè)不等式求得1-a＜（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x=g（x）．根據(jù)m的范圍，判斷出g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減．，進(jìn)而求得函數(shù)g（x）的最大值，利用g（x）_max＞1-a求得a范圍．

解答：解：f（x）=lg

1+2x+3x+…+(m-1) x+mx•a

m

＞（x-1）lgm=lgm^x-1，
∴

1+2x+3x+…+(m-1) x+mx•a

m

＞m^x-1．
∴1-a＜（

1

m

）^x+（

2

m

）^x+…+（

m-1

m

）^x=g（x）．
∵

1

m

，

2

m

，…，

m-1

m

∈（0，1），
∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴g（x）_max=f（1）=

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

=

m-1

2

．
由題意知，1-a＜

m-1

2

，
∴a＞

3-m

2

．又m是給定的正整數(shù)，且m≥2，故a＞

1

2

故答案為：a＞

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度．