Question

設不等式x²+y²≤4確定的平面區(qū)域為U，|x|+|y|≤1確定的平面區(qū)域為V．
（1）定義橫、縱坐標為整數(shù)的點為“整點”，在區(qū)域U內(nèi)任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率；
（2）在區(qū)域U內(nèi)任取3個點，記這3個點在區(qū)域V的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，用列舉法求出平面區(qū)域U的整點的個數(shù)N，平面區(qū)域V的整點個數(shù)為n，這些整點中恰有2個整點在區(qū)域V的概率；
（2）依題可得：平面區(qū)域U的面積為：π•2²=4π，平面區(qū)域V的面積為：，在區(qū)域U內(nèi)任取1個點，則該點在區(qū)域V內(nèi)的概率為，易知：X的可能取值為0，1，2，3，則X∽B（3，），代入概率公式即可求得求X的分布列和數(shù)學期望．
解答：解：（1）依題可知平面區(qū)域U的整點為（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±2，0），（±1，±1）共有13個，
平面區(qū)域V的整點為（0，0），（0，±1），（±1，0）共有5個，
∴
（2）依題可得：平面區(qū)域U的面積為：π•2²=4π，平面區(qū)域V的面積為：，
在區(qū)域U內(nèi)任取1個點，則該點在區(qū)域V內(nèi)的概率為，
易知：X的可能取值為0，1，2，3，
且，
∴X的分布列為：

X		1	2	3
P

∴X的數(shù)學期望：
（或者：，故．
點評：此題是個中檔題．考查古典概型和幾何概型以及二項分布的期望求法，同時考查學生的閱讀能力和分析解決問題的能力．