【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AB∥CD,AD=DC= AB= ,平面PBC⊥平面ABCD.
(1)求證:AC⊥PB;
(2)若PB=PC= ,問在側(cè)棱PB上是否存在一點M,使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值為 ?若存在,求出 的值;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)證明:取AB的中點E,連結(jié)CE,
∵AB∥CD,DC= AB,∴DC AE,
∴四邊形AECD是平行四邊形,
又∵∠ADC=90°,∴四邊形AECD是正方形,∴CE⊥AB,
∴△CAB是等腰三角開有,且CA=CB=2,AB=2 ,
∴AC2+CB2=AB2,∴AC⊥CB,
又∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,
∴AC⊥平面PBC,
又PB平面PBC,∴AC⊥PB
(2)解:設BC的中點為F,連結(jié)PF,
∵PB=PC,∴PF=BC,
∴PF⊥平面ABCD,∴PF⊥AC,
連結(jié)EF,則EF∥AC,∴PF⊥FE,EF⊥BC,
分別以FE、FB、FP所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,
∵AD=PB=PC= ,則F(0,0,0),A(2,﹣1,0),
B(0,1,0),D(1,﹣2,0),P(0,0,1),
∴ =(0,1,﹣1), =(﹣1,﹣1,0), =(0,0,1),
若在線段PB上存在一點M,設 = ,(0≤λ<1),
∵ ,∴ =λ(0,1,﹣1)+(0,0,1)=(0,λ,1﹣λ),
∴M(0,λ,1﹣λ), ,
設平面MAD的一個法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=1,得 =(1,﹣1, ),
平面ABCD的法向量 =(0,0,1),
∵二面角M﹣AD﹣B的余弦值為 ,
∴|cos< >|= = = ,
解得 或λ=2(舍).
∴存在點M,使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值為 ,且 = .
【解析】(1)取AB的中點E,連結(jié)CE,推導出四邊形AECD是正方形,從而CE⊥AB,再求出AC⊥CB,由此能證明AC⊥PB.(2)設BC的中點為F,連結(jié)PF,分別以FE、FB、FP所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出結(jié)果.
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關系對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點P在面對角線AC上運動,給出下列四個命題:
①D1P∥平面A1BC1;
②D1P⊥BD;
③平面PDB1⊥平面A1BC1;
④三棱錐A1﹣BPC1的體積不變.
則其中所有正確的命題的序號是_____.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線C:(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,O為坐標原點,點在雙曲線上.
(I)求雙曲線C的方程.
(II)若斜率為1的直線l與雙曲線交于P,Q兩點,且=0,求直線l方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , a4+a7=20,對任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2 .
(I) 求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}定義如下:2mbm(m∈N*)是使不等式an≥m成立所有n中的最小值,求{bn}的通項公式及{(﹣1)m﹣1bm}的前2m項和T2m .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示的程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學中的秦九韶算法,執(zhí)行該程序框圖,則輸出的結(jié)果S表示的值為( )
A.a0+a1+a2+a3
B.(a0+a1+a2+a3)x3
C.a0+a1x+a2x2+a3x3
D.a0x3+a1x2+a2x+a3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣x+ +1(a∈R).
(1)討論f(x)的單調(diào)性與極值點的個數(shù);
(2)當a=0時,關于x的方程f(x)=m(m∈R)有2個不同的實數(shù)根x1 , x2 , 證明:x1+x2>2.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2ωx(ω>0),將y=f(x)的圖象向右平移 個單位長度后,若所得圖象與原圖象重合,則ω的最小值等于( )
A.2
B.4
C.6
D.8
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數(shù)學競賽,他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分)的莖葉圖如圖,其中甲班學生成績的中位數(shù)是83,乙班學生成績的平均數(shù)是86,則x+y的值為( )
A.168
B.169
C.8
D.9
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (x>0).
(1)試判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論;
(2)若f(x)> 恒成立,求整數(shù)k的最大值;
(3)求證:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n﹣3 .
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