Question

已知向量，，函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T及單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A為銳角，，c=4且f（A）是函數(shù)f（x）在上的最大值，求△ABC的面積S．

Answer 1

解：（1）∵向量，，
∴+=（sinx+cosx，），
∴f（x）=（+）•=sin²x+sinxcosx+
=（1-cos2x）+sin2x+=sin2x-cos2x+2=sin（2x-）+2，
∵ω=2，∴T==π；
令2kπ-≤2x-≤2kπ+（k∈Z），解得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），
則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-，kπ+]（k∈Z）；
（2）由（1）得f（A）=sin（2A-）+2，
∵A∈[0，]，∴2A-∈[-，]，
∴-≤sin（2A-）≤1，即≤f（A）≤3，
∴當2A-=，即A=時，f（A）的最大值為3，
又a=2，c=4，cosA=，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：12=b²+16-4b，即b²-4b+4=0，
整理得：（b-2）²=0，解得：b=2，
則S_△ABC=bcsinA=×2×4×=2．
分析：（1）由兩向量的坐標表示出+的坐標，然后利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算，列出函數(shù)f（x）的解析式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為]2kπ-，2kπ+]（k∈Z），列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）將x=A代入（1）中確定出的f（x）解析式中，根據(jù)A的范圍，得出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的值域，得到f（A）取得最大值時A的度數(shù)，進而得出sinA和cosA的值，由余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，將a，c及cosA的值代入求出c的值，再由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
點評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，平面向量的數(shù)量積運算，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．