Question

某高校組織的自主招生考試，共有1000名同學(xué)參加筆試，成績均介于60分到100分之間，從中隨機(jī)抽取50名同學(xué)的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分為4組：第1組[60，70），第2組[70，80），第3組[80，90），第4組[90，100]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，且筆試成績?cè)?5分（含85分）以上的同學(xué)有面試資格．
（Ⅰ）估計(jì)所有參加筆試的1000名同學(xué)中，有面試資格的人數(shù)；
（Ⅱ）已知某中學(xué)有甲、乙兩位同學(xué)取得面試資格，且甲的筆試比乙的高；面試時(shí)，要求每人回答兩個(gè)問題，假設(shè)甲、乙兩人對(duì)每一個(gè)問題答對(duì)的概率均為；若甲答對(duì)題的個(gè)數(shù)不少于乙，則甲比乙優(yōu)先獲得高考加分資格．求甲比乙優(yōu)先獲得高考加分資格的概率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由頻率和等于1求出筆試成績?cè)赱90，100]的頻率，得到成績?cè)谠?5分（含85分）以上的同學(xué)的頻率，用頻率乘以1000得到有面試資格的人數(shù)；
（Ⅱ）用列舉法寫出甲、乙兩人對(duì)每一個(gè)問題回答正確與錯(cuò)誤的所有情況，查出甲答對(duì)題的個(gè)數(shù)不少于乙答對(duì)題個(gè)數(shù)的情況數(shù)，然后直接利用古典概型概率計(jì)算公式求解．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)第i（i=1，2，3，4）組的頻率為f_i，則由頻率分布直方圖知
f₄=1-（0.014+0.03+0.036）×10=0.2
所以成績?cè)?5分（含85分）以上的同學(xué)的概率P≈f₃+f₄=0.018×10+0.2=0.38，
故這1000名同學(xué)中，取得面試資格的約有1000×0.38=380人．
（Ⅱ）設(shè)答對(duì)記為1，打錯(cuò)記為0，則所有可能的情況有：
甲₀₀乙₀₀，甲₀₀乙₁₀，甲₀₀乙₀₁，甲₀₀乙₁₁，甲₁₀乙₀₀，甲₁₀乙₁₀，甲₁₀乙₀₁，
甲₁₀乙₁₁，甲₀₁乙₀₀，甲₀₁乙₁₀，甲₀₁乙₀₁，甲₀₁乙₁₁，甲₁₁乙₀₀，甲₁₁乙₁₀，
甲₁₁乙₀₁，甲₁₁乙₁₁，共16個(gè)．
甲答對(duì)題的個(gè)數(shù)不少于乙的情況有：
甲₀₀乙₀₀，甲₁₀乙₀₀，甲₁₀乙₁₀，甲₁₀乙₀₁，甲₀₁乙₀₀，甲₀₁乙₁₀，甲₀₁乙₀₁，
甲₁₁乙₀₀，甲₁₁乙₀₁，甲₁₁乙₁₀，甲₁₁乙₁₁，共11個(gè)．
故甲比乙優(yōu)先獲得高考加分資格的概率為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了頻率分布直方圖，考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，解答的關(guān)鍵是做到列舉時(shí)不重不漏，是基礎(chǔ)題．