Question

已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足到點(diǎn)（1，0）的距離比到直線x=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（2，4）的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足|•||•||，證明：
（ⅰ）；（ⅱ）點(diǎn)Q總在某定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線定義，很容易判斷曲線C的軌跡為拋物線，再利用求拋物線方程的方法求出曲線C的方程．
（2）（ⅰ）要證，只需用分析法逐步變形，尋找成立的充分條件即可，最后尋找到恒成立的條件．
（ⅱ）要證點(diǎn)Q總在某定直線上，只要找到一條直線，使其上面有點(diǎn)滿足，即可．
解答：解：（1）依題意有|-1，
由顯然x＞-2，得|，
化簡(jiǎn)得y²=4x；                              
（2）證明：（ⅰ）|•|•||⇒
⇒|AP|•||•||•||•|||•||•||
⇒
（ⅱ）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)P與點(diǎn)B之間，點(diǎn)Q（x，y），
依（ⅰ）有*，
又可設(shè)過(guò)點(diǎn)P（2，4）的直線方程為y=k（x-2）+4，
得-16k+16，x₁+x₂=，代入上*式得，
又k=，得x-2y+2=0，
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，也滿足上式．即點(diǎn)Q總過(guò)直線x-2y+2=0，得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了定義法求軌跡方程，以及分析法證明不等式，做題時(shí)要認(rèn)真分析，找到各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系．