【題目】已知圓經(jīng)過原點(diǎn)且與直線相切于點(diǎn)

(Ⅰ)求圓的方程;

(Ⅱ)在圓上是否存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,且以線段為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)?若存在,寫出直線的方程;若不存在,請說明理由

【答案】(Ⅰ).

(Ⅱ)見解析.

【解析】

Ⅰ)由已知得圓心經(jīng)過點(diǎn)P(4,0)、且與y=2x﹣8垂直的直線上,它又在線段OP的中垂線x=2上,求得圓心C(2,1),半徑為,可得圓C的方程.

Ⅱ)假設(shè)存在兩點(diǎn)M,N關(guān)于直線y=kx﹣1對稱,則y=kx﹣1通過圓心C(2,1),求得k=1,設(shè)直線MN為y=﹣x+b,代入圓的方程,利用韋達(dá)定理及 =0,求得b的值,可得結(jié)論.

(Ⅰ)法一:由已知,得圓心在經(jīng)過點(diǎn)且與垂直的直線上,它又在線段的中垂線上,所以求得圓心,半徑為.

所以圓的方程為.

(細(xì)則:法一中圓心3分,半徑1分,方程2分)

法二:設(shè)圓的方程為,

可得

解得,

所以圓的方程為

(細(xì)則:方程組中一個(gè)方程1分)

(Ⅱ)假設(shè)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,則通過圓心,求得,

所以設(shè)直線

代入圓的方程得

設(shè),,則

解得

這時(shí),符合題意,所以存在直線符合條件

(細(xì)則:未判斷的扣1分).

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