Question

△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c且b²+c²-a²+bc=0，則

asin(30°-C)

b-c

等于（　�。�

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．

  6 + 2

  4

Answer 1

分析：根據(jù)題中等式，結(jié)合余弦定理算出A=

π

3

，再由正弦定理將

asin(30°-C)

b-c

化簡(jiǎn)為

sinAsin(30°-C)

sinB-sinC

．由sinB=sin（A+C）和A=

π

3

，將分子、分母展開化簡(jiǎn)、約去公因式，即可得到

asin(30°-C)

b-c

的值．

解答：解：∵△ABC中，b²+c²=a²-bc
∴根據(jù)余弦定理，得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

∵A∈（0，π），∴A=

2π

3

由正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
∴

asin(30°-C)

b-c

=

2RsinAsin(30°-C)

2R(sinB-sinC)

=

3 2 ( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

sin( π 3 -C)-sinC

∵sin（

π

3

-C）-sinC=

3

2

cosC-

1

2

sinC-sinC=

3

（

1

2

cosC-

3

2

sinC）
∴原式=

3 2 ( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

3 ( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

=

1

2

故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形邊之間的平方關(guān)系，求角A的大小并求關(guān)于邊與角的三角函數(shù)關(guān)系式的值，著重考查了兩角和與差的正弦公式和用正、余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．