Question

已知雙曲線x²-y²=2的左、右焦點分別為F₁、F₂，過點F₂的動直線與雙曲線相交于A、B兩點，
（Ⅰ）若動點M滿足（其中O為坐標原點），求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在定點C，使為常數(shù)？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：由條件知，設(shè)，
（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則，，
由得，
于是AB的中點坐標為；
當AB不與x軸垂直時，，
因為A、B兩點在雙曲線上，所以，
兩式相減得，
將，代入上式，化簡得；
當AB與x軸垂直時，，求得M(8，0)，也滿足上述方程；
故點M的軌跡方程是；
（Ⅱ）假設(shè)在x軸上存在定點C(m，0)，使為常數(shù)。
當AB不與x軸垂直時，設(shè)直線AB的方程是，
代入，
則x₁、x₂是上述方程的兩個實根，所以，
于是

，
因為是與k無關(guān)的常數(shù)，所以4-4m=0即m=1，此時；
當AB與x軸垂直時，點A、B的坐標可別設(shè)為，
此時；
故在x軸上存在定點C（1，0），使為常數(shù)。