【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,離心率.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),求的內(nèi)切圓半徑的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)題意列出待定系數(shù)的方程組,即可求得方程;(2)設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,
易得的周長(zhǎng)為,所以,因此最大,就最大. 把分解為和,從而得到,整理方程組, 求出兩根和與兩根既即得到面積與的函數(shù)關(guān)系,通過(guò)換元,利用均值不等式即可求得的最大值,此時(shí).
試題解析:(1)由題意可得...................2分
解得..................3分
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為..................... 4分
(2)設(shè),設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,
因?yàn)?/span>的周長(zhǎng)為,,
因此最大,就最大........................6分
,
由題意知,直線的斜率不為零,可設(shè)直線的方程為,
由得,
所以,.................8分
又因直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),
故,即,則
............10分
令,則,
.
令,由函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù),
即當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,
因此有,所以,
即當(dāng)時(shí),最大,此時(shí),
故當(dāng)直線的方程為時(shí),內(nèi)切圓半徑的最大值為...........12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.且曲線的左焦點(diǎn)在直線上.
(1)若直線與曲線交于兩點(diǎn),求的值;
(2)求曲線的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)若,求曲線在處切線的斜率;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè),若對(duì)任意,均存在,使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)為單位圓上逆時(shí)針均勻分布的六個(gè)點(diǎn),現(xiàn)從這六個(gè)點(diǎn)中任選其中三個(gè)不同點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形,記該三角形的面積為隨機(jī)變量.
(1)求的概率;
(2)求的分布列及數(shù)學(xué)期望 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開(kāi)設(shè)游泳選修課,為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān),該學(xué)校對(duì)100名高一新生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
喜歡游泳 | 不喜歡游泳 | 合計(jì) | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合計(jì) |
已知在這100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為.
(1)請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整:并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)?并說(shuō)明你的理由;
(2)針對(duì)于問(wèn)卷調(diào)查的100名學(xué)生,學(xué)校決定從喜歡游泳的人中按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人成立游泳科普知識(shí)宣傳組,并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長(zhǎng),設(shè)這兩人中男生人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
下面的臨界值表僅供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2014年5月,我省南昌市遭受連日大暴雨天氣,某網(wǎng)站就“民眾是否支持加大修建城市地下排水設(shè)施的資金投入”進(jìn)行投票,按照南昌暴雨前后兩個(gè)時(shí)間收集有效投票,暴雨后的投票收集了份,暴雨前的投票也收集了份,所得統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表:
已知工作人與從所有投票中任取一個(gè),取到“不支持投入”的投票的概率為.
(1)求列表中數(shù)據(jù)的值;
(2)能夠有多大的把握認(rèn)為南昌暴雨對(duì)民眾是否贊成加大對(duì)修建城市地下排水設(shè)施的投入有關(guān)系?
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明和爸爸周末到濕地公園進(jìn)行鍛煉,兩人上午9:00從公園入口出發(fā),沿相同路線勻速運(yùn)動(dòng),小明15分鐘后到達(dá)目的地,此時(shí)爸爸離出發(fā)地的路程為1200米,小明到達(dá)目的地后立即按原路勻速返回,與爸爸相遇后,和爸爸一起從原路返回出發(fā)地.小明、爸爸在鍛煉過(guò)程中離出發(fā)地的路程與小明出發(fā)的時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖.
(1)圖中________, _______;
(2)求小明和爸爸相遇的時(shí)刻.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于命題:存在一個(gè)常數(shù),使得不等式對(duì)任意正數(shù),恒成立.
(1)試給出這個(gè)常數(shù)的值;
(2)在(1)所得結(jié)論的條件下證明命題;
(3)對(duì)于上述命題,某同學(xué)正確地猜想了命題:“存在一個(gè)常數(shù),使得不等式對(duì)任意正數(shù),,恒成立.”觀察命題與命題的規(guī)律,請(qǐng)猜想與正數(shù),,,相關(guān)的命題.
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