【題目】四個(gè)同樣大小的球,,兩兩相切,點(diǎn)是球上的動(dòng)點(diǎn),則直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為( ).

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

三棱錐是正四面體,正四面體的對棱互相垂直,因此平移直線位置,則,過、的平面截球得一個(gè)大圓,過作大圓的兩條切線.當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至切點(diǎn)時(shí),最小,當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至切點(diǎn)時(shí),最大.分別求出角的最大值和最小值,再求正弦值即可.

解:

由四個(gè)同樣大小的球,兩兩相切,

則可以把,,,看成正四面體的四個(gè)頂點(diǎn),

球的半徑為棱長的一半,記球的半徑為1,則正四面體的棱長為2

平移直線位置,過,的平面截球得一個(gè)大圓,

作大圓的兩條切線

由線面垂直易證,由圖可知,

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至切點(diǎn)時(shí),最小,

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至切點(diǎn)時(shí),最大,

設(shè),則,

中,,則,

即直線與直線所成角,

則直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為.

故選:C

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;

)設(shè)點(diǎn)分別是曲線,上兩動(dòng)點(diǎn)且,求面積的最大值.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知是曲線為參數(shù))上的動(dòng)點(diǎn),將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

1)求曲線的極坐標(biāo)方程;

2)在極坐標(biāo)系中,直線與曲線分別相交于異于極點(diǎn)兩點(diǎn),點(diǎn),當(dāng)時(shí),求直線的斜率.

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【題目】已知函數(shù)上的奇函數(shù),其中,則下 列關(guān)于函數(shù)的描述中,其中正確的是(

①將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位可以得到函數(shù)的圖象;

②函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為;

③當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為;

④函數(shù)上單調(diào)遞增.

A.①③B.③④C.②③D.②④

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【題目】如圖,在正三棱柱中,D,E,F分別為線段,的中點(diǎn).

1)證明:平面;

2)證明:平面.

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【題目】“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題:將120202020個(gè)自然數(shù)中滿足被3除余2且被5除余3的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是(

A.135B.134C.59D.58

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2)若的左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,直線.的直線相交于,在第一象限)兩點(diǎn),與相交于,是否存在使的面積等于的面積與的面積之和.若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.

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A.B.C.D.

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