已知函數(shù)f(x)=x+
3
x

（1）用函數(shù)單調定義研究函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調性；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明之；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調性和奇偶性作出函數(shù)f（x）的圖象，寫出該函數(shù)的單調減區(qū)間．
（1）任意取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2.f(x1)-f(x2)=(x1+
3
x1
)-(x2+
3
x2
)=(x1-x2)(1-
3
x1x2
)=(x1-x2)
x1x2-3
x1x2
（3分）
因為x1＜x2所以x1-x2＜0
當x1，x2∈(0，
3
]時，0＜x1x2＜3所以x1x2-3＜0
所以f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）．
所以f（x）在（0，
3
]上是單調減函數(shù)．（6分）
同理可證f（x）在（
3
，+∞）上是單調增函數(shù)．（8分）
（2）函數(shù)f（x）的定義域為x|x≠0，x∈R關于原點對稱（9分）
因為f(-x)=-x-
3
x
=-f(x).
所以f（x）是奇函數(shù)．（12分）
（3）圖象為
（14分）
函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為(-
3
，0)和(0，
3
)（16分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，不等式f（ax-1）＞f（2+x2）恒成立，則a的取值范圍是（　�。�
A．(-2，2
3
)		B．(-2
3
，2)		C．(-2
3
，2
3
)		D．（-2，2）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知奇函數(shù)f（x）的定義域是[-1，0）∪（0，1]，其在y軸右側的圖象如圖所示，則不等式f（-x）-f（x）＜1的解集為（　�。�
A．{x|-
1
2
＜x＜0}		B．{x|-
1
2
＜x＜0或0＜x≤1}
C．{x|-1≤x＜-
1
2
或0＜x≤1}		D．{x|-1≤x＜0或
1
2
＜x≤1}

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=
x-2
x+3
的圖象關于y=x對稱，則函數(shù)f（x）為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知f（x）是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=2x．
（1）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（3）寫出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

下列判斷正確的是（　�。�
A．定義在R上的函數(shù)f（x），若f（-1）=f（1），且f（-2）=f（2），則f（x）是偶函數(shù)
B．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2）＞f（1），則f（x）在R上不是減函數(shù)
C．定義在R上的函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上也是減函數(shù)，則f（x）在R上是減函數(shù)
D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有且只有一個

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知f（x）=ax+a-x（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）證明函數(shù)f（x）的圖象關于y軸對稱；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并用定義加以證明；
（Ⅲ）當x∈[1，2]時函數(shù)f（x）的最大值為
5
2
，求此時a的值．
（Ⅳ）當x∈[-2，-1]時函數(shù)f（x）的最大值為
5
2
，求此時a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0，+∞）上是增函數(shù)，則一定有（　�。�
A．f(-
3
4
)＞f(a4+a2+1)		B．f(-
3
4
)≥f（a4+a2+1）
C．f(-
3
4
)＜f(a4+a2+1)		D．f(-
3
4
)≤f（a4+a2+1）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f（x）的周期是3，當x∈[-1，2）時，f（x）=x+1，則當x∈[8，11）時，f（x）=（　�。�
A．x+8B．x+7C．x-7D．x-8

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同步練習冊答案