Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，∠ABC=45°，其側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為8的正方形．E、F分別是側(cè)棱AA₁、CC₁上的動(dòng)點(diǎn)，AE+CF=8．
（Ⅰ）證明：BD⊥EF；
（Ⅱ）P在棱AA₁上，且AP=2，若EF∥平面PBD，求CF．

Answer 1

分析：（1）證明BDBD⊥平面AA₁C₁C，即可得到結(jié)論；
（2）利用線面平行的性質(zhì)得到線線平行，再利用線之間的數(shù)量關(guān)系，就可求得CF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接AC，由ABCD是菱形得，AC⊥BD
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABC
∴AA₁⊥BD
∵AA₁∩AC=A
∴BD⊥平面AA₁C₁C
∵EF?平面AA₁C₁C
∴BD⊥EF
（2）解：連AC交BD與O，
∵EF∥平面PBD
∴EF∥PO
過點(diǎn)C作CQ∥OP交AA₁于點(diǎn)Q
∵EF∥PO
∴EF∥QC
∴QE=CF
∵四邊形EFCQ為菱形．
∴O為AC的中點(diǎn)
∴P為AQ的中點(diǎn)
∴PQ=AP=2
∵AE+CF=AP+PQ+QE+CF=2+2+CF+CF=8
∴CF=2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定定理及性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)定理，同時(shí)也考查了棱柱的有關(guān)知識(shí)．屬于常規(guī)題．