Question

【題目】隨著生活水平的提高和人們對(duì)健康生活的重視，越來(lái)越多的人加入到健身運(yùn)動(dòng)中.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)顯示，2019年有4億國(guó)人經(jīng)常參加體育鍛煉.某健身房從參與健身的會(huì)員中隨機(jī)抽取100人，對(duì)其每周參與健身的天數(shù)和2019年在該健身房所有消費(fèi)金額（單位：元）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下統(tǒng)計(jì)表及統(tǒng)計(jì)圖：

平均每周健身天數(shù)	不大于2	3或4	不少于5
人數(shù)（男）	20	35	9
人數(shù)（女）	10	20	6

若某人平均每周進(jìn)行健身天數(shù)不少于5，則稱(chēng)其為“健身達(dá)人”.該健身房規(guī)定消費(fèi)金額不多于1600元的為普通會(huì)員，超過(guò)1600元但不超過(guò)3200元的為銀牌會(huì)員，超過(guò)3200元的為金牌會(huì)員.

（1）已知金牌會(huì)員都是健身達(dá)人，現(xiàn)從健身達(dá)人中隨機(jī)抽取2人，求他們均是金牌會(huì)員的概率；

（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為性別和是否為“健身達(dá)人”有關(guān)系？

（3）該健身機(jī)構(gòu)在2019年年底針對(duì)這100位消費(fèi)者舉辦一次消費(fèi)返利活動(dòng)，現(xiàn)有以下兩種方案：

方案一：按分層抽樣從普通會(huì)員、銀牌會(huì)員和金牌會(huì)員中共抽取25位“幸運(yùn)之星”，分別給予188元，288元，888元的幸運(yùn)獎(jiǎng)勵(lì)；

方案二：每位會(huì)員均可參加摸獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：摸獎(jiǎng)箱中裝有5張形狀大小完全一樣的卡片，其中3張印跑步機(jī)圖案、2張印動(dòng)感單車(chē)圖案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一張，若摸到動(dòng)感單車(chē)的總數(shù)為2，則獲得100元獎(jiǎng)勵(lì)，若摸到動(dòng)感單車(chē)的總數(shù)為3，則獲得200元獎(jiǎng)勵(lì)，其他情況不給予獎(jiǎng)勵(lì).規(guī)定每個(gè)普通會(huì)員只能參加1次摸獎(jiǎng)游戲，每個(gè)銀牌會(huì)員可參加2次摸獎(jiǎng)游戲，每個(gè)金牌會(huì)員可參加3次摸獎(jiǎng)游戲（每次摸獎(jiǎng)結(jié)果相互獨(dú)立）.

請(qǐng)你比較該健身房采用哪一種方案時(shí)，在此次消費(fèi)返利活動(dòng)中的支出較少，并說(shuō)明理由.

附：，其中為樣本容量.

	0.50	0.25	0.10	0.05	0.010	0.005
	0.455	1.323	2.706	3.841	6.636	7.879

Answer 1

【答案】(1)；(2) 不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為性別和是否為“健身達(dá)人”有關(guān)系;(3) 采用方案二時(shí),在此次消費(fèi)返利活動(dòng)中的支出較少.

【解析】

(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表分別求得金牌會(huì)員與健身達(dá)人的人數(shù),再根據(jù)組合的方法求解從健身達(dá)人中隨機(jī)抽取2人,他們均是金牌會(huì)員的概率即可.

(2)根據(jù)圖表分別求得非健身達(dá)人與健身達(dá)人中男女的人數(shù),再計(jì)算分析即可.

(3)先求得普通會(huì)員、銀牌會(huì)員與金牌會(huì)員的人數(shù),再分別計(jì)算方案一和方案二中的支出.方案一計(jì)算分層抽樣的各層次人數(shù)計(jì)算總支出,方案二中先計(jì)算一次摸獎(jiǎng)的獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)學(xué)期望,再分析所有的總獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)學(xué)期望,再比較方案一、二的支出即可.

(1)由題意得,健身達(dá)人共人,金牌會(huì)員人數(shù)有人.又金牌會(huì)員都是健身達(dá)人,故從健身達(dá)人中隨機(jī)抽取2人,他們均是金牌會(huì)員的概率為.

(2)由圖表可知,非健身達(dá)人男性有：人,健身達(dá)人男性有：人；

非健身達(dá)人女性有：人,健身達(dá)人女性有：人.

列出列聯(lián)表有：

	非健身達(dá)人	健身達(dá)人	總?cè)藬?shù)
人數(shù)（男）	55	9	64
人數(shù)（女）	30	6	36
總?cè)藬?shù)	85	15	100

故.

故不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為性別和是否為“健身達(dá)人”有關(guān)系.

(3)由圖,普通會(huì)員有人,銀牌會(huì)員有人,金牌會(huì)員有人.

方案一：抽取的普通會(huì)員、銀牌會(huì)員與金牌會(huì)員分別有,,人.故共支出元.

方案二：摸一次獎(jiǎng)獲得獎(jiǎng)勵(lì)的數(shù)學(xué)期望為.

故總支出的數(shù)學(xué)期望為.

故采用方案二時(shí),在此次消費(fèi)返利活動(dòng)中的支出較少.