Question

理科已知函數(shù)，當時，函數(shù)取得極大值.
（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導數(shù)都存在，且，則存在，使得.試用這個結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對任意，都有；（Ⅲ）已知正數(shù)滿足求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數(shù),都有

Answer 1

（Ⅰ）m=-1；（Ⅱ）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式；（Ⅲ）利用數(shù)學歸納法證明

試題分析：（Ⅰ）. 由，得，此時.
當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
函數(shù)在處取得極大值，故.  3分
（Ⅱ）令，  4分
則.函數(shù)在上可導，存在，使得.又
當時，，單調(diào)遞增，；
當時，，單調(diào)遞減，；
故對任意，都有.  8分
（Ⅲ）用數(shù)學歸納法證明.
①當時，，且，，
，由（Ⅱ）得，即
，
當時，結(jié)論成立.  9分
②假設(shè)當時結(jié)論成立，即當時，
. 當時，設(shè)正數(shù)滿足令，
 
則，且.

   13分
當時，結(jié)論也成立.
綜上由①②，對任意，，結(jié)論恒成立.  14分
點評：近幾年新課標高考對于函數(shù)與導數(shù)這一綜合問題的命制，一般以有理函數(shù)與半超越（指數(shù)、對數(shù)）函數(shù)的組合復合且含有參量的函數(shù)為背景載體，解題時要注意對數(shù)式對函數(shù)定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數(shù)單調(diào)性、導數(shù)運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數(shù)學思想（分類與整合、數(shù)與形的結(jié)合）方法（分析法、綜合法、數(shù)學歸納法）的運用.把數(shù)學運算的“力量”與數(shù)學思維的“技巧”完美結(jié)合.