【題目】海州市六一兒童節(jié)期間在婦女兒童活動中心舉行小學(xué)生“海州杯”圍棋比賽,規(guī)則如下:甲、乙兩名選手比賽時,每局勝者得1分,負者得0分,比賽進行到有一人比對方多2分或賽滿6局時比賽結(jié)束.設(shè)某校選手甲與另一選手乙比賽時,甲每局獲勝的概率皆為,且各局比賽勝負互不影響,已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為.
(1)求的值;
(2)設(shè)表示比賽停止時已比賽的局數(shù),求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1);(2)詳見解析.
【解析】試題分析:(1)依據(jù)題設(shè)比賽結(jié)束時須滿足“甲連勝2局或乙連勝2局”且這兩事件互斥,可借助這一條件建立方程求出;(2)依據(jù)題設(shè)條件分別求出,,.再運用隨機變量的分布列 數(shù)學(xué)期望公式求出.
試題解析:
(1)依題意,當甲連勝2局或乙連勝2局時,第二局比賽結(jié)束時比賽結(jié)束,
∴有,解得或.
∵,∴.
(2)依題意知的所有可能值為2,4,6,
設(shè)每兩局比賽為一輪,則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為,若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分,此時,該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響.
從而有,,
.
∴隨機變量的分布列為:
則.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直角梯形中,是邊長為2的等邊三角形,.沿將折起,使至處,且;然后再將沿折起,使至處,且面面,和在面的同側(cè).
(Ⅰ) 求證:平面;
(Ⅱ) 求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值.
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【題目】“共享單車”的出現(xiàn),為我們提供了一種新型的交通方式.某機構(gòu)為了調(diào)查人們對此種交通方式的滿意度,從交通擁堵不嚴重的城市和交通擁堵嚴重的城市分別隨機調(diào)查了20個用戶,得到了一個用戶滿意度評分的樣本,并繪制出莖葉圖如圖:
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖,比較兩城市滿意度評分的平均值的大小及方差的大。ú灰缶唧w解答過程,給出結(jié)論即可);
(Ⅱ)若得分不低于80分,則認為該用戶對此種交通方式“認可”,否則認為該用戶對此種交通方式“不認同”,請根據(jù)此樣本完成此列聯(lián)表,并局此樣本分析是否有95%的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關(guān);
(Ⅲ)若此樣本中的城市和城市各抽取1人,則在此2人中恰有一人認可的條件下,此人來自城市的概率是多少?
合計 | |||
認可 | |||
不認可 | |||
合計 |
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】已知橢圓的兩個焦點是, ,且橢圓經(jīng)過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若過橢圓的左焦點且斜率為1的直線與橢圓交于兩點,求線段的長.
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【題目】某市英才中學(xué)的一個社會實踐調(diào)查小組,在對中學(xué)生的良好“光盤習(xí)慣”的調(diào)查中,隨機發(fā)放了120份問卷,對收回的120份有效問卷進行統(tǒng)計,得到如下列聯(lián)表:
做不到光盤 | 能做到光盤 | 合計 | |
男 | 45 | 10 | 55 |
女 | 30 | 15 | 45 |
合計 | 75 | 25 | 100 |
(1)現(xiàn)已按是否能做到光盤分層從45份女生問卷中抽取9份問卷,若從這9份問卷中隨機抽取4份,并記其中能做到光盤的問卷的份數(shù)為,試求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)如果認為良好“光盤習(xí)慣”與性別有關(guān)犯錯誤的概率不超過,那么根據(jù)臨界值表最精確的的值應(yīng)為多少?請說明理由.
附:獨立性檢驗統(tǒng)計量,其中.
獨立性檢驗臨界表:
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【題目】已知點為橢圓的左焦點,且兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成一個等邊三角形,直線與橢圓有且僅有一個交點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與軸交于,過點的直線與橢圓交于兩不同點, ,若,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在測試中,客觀題難度的計算公式為,其中為第題的難度, 為答對該題的人數(shù), 為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級120名學(xué)生進行一次測試,共5道客觀題.測試前根據(jù)對學(xué)生的了解,預(yù)估了每道題的難度,如下表所示:
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前預(yù)估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
測試后,從中隨機抽取了10名學(xué)生,將他們編號后統(tǒng)計各題的作答情況,如下表所示(“√”表示答對,“×”表示答錯):
學(xué)生編號 題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
(Ⅰ)根據(jù)題中數(shù)據(jù),將抽樣的10名學(xué)生每道題實測的答對人數(shù)及相應(yīng)的實測難度填入下表,并估計這120名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù);
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實測答對人數(shù) | |||||
實測難度 |
(Ⅱ)從編號為1到5的5人中隨機抽取2人,求恰好有1人答對第5題的概率;
(Ⅲ)定義統(tǒng)計量,其中為第題的實測難度, 為第題的預(yù)估難度.規(guī)定:若,則稱該次測試的難度預(yù)估合理,否則為不合理.判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.
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