Question

【題目】已知函數，．

（1）若，，求實數的值．

（2）若，，求正實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）0（2）

【解析】

（1）求得和，由，，得，令，令導數求得函數的單調性，利用，即可求解．

（2）解法一：令，利用導數求得的單調性，轉化為，令（），利用導數得到的單調性，分類討論，即可求解．

解法二：可利用導數，先證明不等式，，，，

令（），利用導數，分類討論得出函數的單調性與最值，即可求解．

（1）由題意，得，，

由，…①，得，

令，則，

因為，所以在單調遞增，

又，所以當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

所以，當且僅當時等號成立．

故方程①有且僅有唯一解，實數的值為0．

（2）解法一：令（），

則，

所以當時，，單調遞增;

當時，，單調遞減;

故

．

令（），

則．

（i）若時，，在單調遞增，

所以，滿足題意．

（ii）若時，，滿足題意．

（iii）若時，，在單調遞減，

所以．不滿足題意．

綜上述：．

解法二：先證明不等式，，，…（*）．

令，

則當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

所以，即．

變形得，，所以時，，

所以當時，.

又由上式得，當時，，，.

因此不等式（*）均成立．

令（），

則，

（i）若時，當時，，單調遞增;

當時，，單調遞減;

故

．

（ii）若時，，在單調遞增，

所以 ．

因此，①當時，此時，，，

則需

由（*）知，，（當且僅當時等號成立），所以．

②當時，此時，，

則當時，

（由（*）知）；

當時，（由（*）知）．故對于任意，．

綜上述：．