Question

PA、PB、PC兩兩垂直；②P到△ABC三邊的距離相等；③PA⊥BC，PB⊥AC；④PA、PB、PC與平面ABC所成的角相等；⑤平面PBC、PAB、PAC與平面ABC所成的銳二面角相等；⑥PA=PB=PC；⑦∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，∠PCB=∠PCA；⑧AC⊥面PBO，AB⊥面PCO．若在上述8個(gè)序號中任意取出兩個(gè)作為條件，其中一個(gè)一定能得出O為△ABC的垂心、另一個(gè)一定能得出O為△ABC的外心的概率為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先跟據(jù)條件判斷出八個(gè)命題中得出垂心的有三個(gè)，外心的有兩個(gè)，內(nèi)心的有三個(gè)，再代入等可能時(shí)間的概率計(jì)算公式即可得到答案．
解答：解：對于①

由PA⊥PB，PA⊥PC⇒PA⊥平面PBC⇒PA⊥BC，
又PO⊥BC，⇒BC⊥平面PAO⇒BC⊥AO⇒O在BC邊的高線上；
同理：O在AC邊的高線上，
所以O(shè)為垂心．
對于②：因?yàn)椋篜E=PF=PD⇒OD=OE=OF⇒O為三角形的內(nèi)心．
對于③：因?yàn)椋篜A⊥BC，PO⊥BC，⇒BC⊥平面PAO⇒BC⊥AO，O在BC邊的高線上；
同理：O在AC邊的高線上，
所以O(shè)為垂心．
對于④：因?yàn)椋骸螾AO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O為三角形的外心．
對于⑤：∠PEO=∠PFO=∠PDO⇒OD=OE=OF⇒O為三角形的內(nèi)心．
對于⑥：PA=PB=PC⇒AO=BO=CO⇒O為三角形的外心．
對于⑦：∠PAB=∠PAC⇒點(diǎn)P的射影在∠CAB的角平分線上；同理P的射影也在∠ABC的角平分線上；所以：O為三角形的內(nèi)心．
對于⑧：AC⊥面PBO⇒AC⊥PO，O在AC邊的高線上，同理：O在BA邊的高線上；所以O(shè)為垂心．
即可以得出垂心的有三個(gè)，外心的有兩個(gè)．
所以：在上述8個(gè)序號中任意取出兩個(gè)作為條件，其中一個(gè)一定能得出O為△ABC的垂心、另一個(gè)一定能得出O為△ABC的外心的概率P==．
故選：A．
點(diǎn)評：本題是對立體幾何知識(shí)以及三角形五心，等可能時(shí)間概率的計(jì)算等知識(shí)的綜合考察．解決問題的關(guān)鍵在于得到八個(gè)命題中得出垂心的有三個(gè)，外心的有兩個(gè)，內(nèi)心的有三個(gè)．