Question

設，對任意實數(shù)t，記．
（I）求函數(shù)y=f（x）-g₈（x）的單調區(qū)間；
（II）求證：（ⅰ）當x＞0時，f（x）≥g_t（x）對任意正實數(shù)t成立；
（ⅱ）有且僅有一個正實數(shù)x，使得g₈（x）≥g_t（x）對任意正實數(shù)t成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后令f′（x）=0，解出函數(shù)的極值點，最后根據導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，從而求函數(shù)y=f（x）-g₈（x）的單調區(qū)間；
（II）（ⅰ）由題意當x＞0時，f（x）≥g_t（x），求出f（x）最小指，和g_t（x）的最大值，從而求證；
（ⅱ）由（i）得，g_t（2）≥g_t（2）對任意正實數(shù)t成立．即存在正實數(shù)x=2，使得g_x（2）≥g_t（2）對任意正實數(shù)t，然后再證明x的唯一性．
解答：解：（I）解：．由y'=x²-4=0，得x=±2．
因為當x∈（-∞，-2）時，y'＞0，
當x∈（-2，2）時，y'＜0，
當x∈（2，+∞）時，y'＞0，
故所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（-∞，-2），（2，+∞），
單調遞減區(qū)間是（-2，2）．
（II）證明：（i）方法一：
令，則，
當t＞0時，由h'（x）=0，得，
當時，h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）內的最小值是．
故當x＞0時，f（x）≥g_t（x）對任意正實數(shù)t成立．
方法二：
對任意固定的x＞0，令，則，
由h'（t）=0，得t=x³．
當0＜t＜x³時，h'（t）＞0．
當t＞x³時，h'（t）＜0，
所以當t=x³時，h（t）取得最大值．
因此當x＞0時，f（x）≥g（x）對任意正實數(shù)t成立．
（ii）方法一：．
由（i）得，g_t（2）≥g_t（2）對任意正實數(shù)t成立．
即存在正實數(shù)x=2，使得g_x（2）≥g_t（2）對任意正實數(shù)t成立．
下面證明x的唯一性：
當x≠2，x＞0，t=8時，，，
由（i）得，，
再取t=x³，得，
所以，
即x≠2時，不滿足g_x（x）≥g_t（x）對任意t＞0都成立．
故有且僅有一個正實數(shù)x=2，
使得g_x（x）0≥g_t（x）對任意正實數(shù)t成立．
方法二：對任意x＞0，，
因為g_t（x）關于t的最大值是，所以要使g_x（x）≥g_t（x）
對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是：，
即（x-2）²（x+4）≤0，①
又因為x＞0，不等式①成立的充分必要條件是x=2，
所以有且僅有一個正實數(shù)x=2，
使得g_x（x）≥g_t（x）對任意正實數(shù)t成立．
點評：本題主要考查函數(shù)的基本性質，導數(shù)的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力，難度較大．