Question

(2007浙江，22)設，對任意實數(shù)t，記．

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：①當x＞0時，對任意正實數(shù)t成立；

②有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)t成立．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)．由，得x=±2． 因為當x(－∞，－2)時，＞0， 當x(－2，2)時，＜0，當x(2，＋∞)時，＞0， 故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－2)，(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－2，2)． (2)①令， 則，當t＞0時，由，得． 當時，，當時，h(x)＞0， 所以h(x)在(0，＋∞)內(nèi)的最小值是， 故當x＞0時，對任意正實數(shù)t成立． ②，由①得，對任意正實數(shù)t成立，即存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)t成立．下面證明的唯一性：當，，t=8時，，． 由①得，，再取，得， 所以， 即時，不滿足對任意t＞0都成立． 故有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)t成立．

提示：

剖析：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導數(shù)的應用及不等式的證明等基本知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力．