Question

【題目】設(shè)函數(shù)，f（x）=|x﹣a|
（Ⅰ）當(dāng)a=2，解不等式，f（x）≥5﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集為[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求證：m+2n≥4．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)a=2，不等式f（x）≥5﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥5．
由絕對值的意義可得，|x﹣2|+|x﹣1|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到1、2的距離之和，而﹣1和4到1、2的距離之和正好等于5，
故|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集為（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．
（Ⅱ）由f（x）≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1，求得 a﹣1≤x≤a+1，
再根據(jù)f（x）≤1的解集為[0，2]，可得a=1．
故有 +=1（m＞0，n＞0），∴m+2n=（m+2n）+=2++≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)=時，等號成立，故m+2n≥4成立．
【解析】（Ⅰ）當(dāng)a=2，不等式即|x﹣2|+|x﹣1|≥5．由絕對值的意義可得﹣1和4到1、2的距離之和正好等于5，從而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集．
（Ⅱ）由f（x）≤1求得 a﹣1≤x≤a+1，再根據(jù)f（x）≤1的解集為[0，2]，可得a=1，再根據(jù) m+2n=（m+2n）+=2++ ， 利用基本不等式證得要證的不等式．
【考點精析】本題主要考查了基本不等式和絕對值不等式的解法的相關(guān)知識點，需要掌握基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）；變形公式：；含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．