【題目】若對(duì)任意的正整數(shù),總存在正整數(shù),使得數(shù)列的前項(xiàng)和,則稱是“回歸數(shù)列”.
(1)①前項(xiàng)和為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”?并請(qǐng)說(shuō)明理由;
②通項(xiàng)公式為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”?并請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)設(shè)是等差數(shù)列,首項(xiàng),公差,若是“回歸數(shù)列”,求的值;
(3)是否對(duì)任意的等差數(shù)列,總存在兩個(gè)“回歸數(shù)列”和,使得成立,請(qǐng)給出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)①是;②是;(2);(3)見解析.
【解析】
(1)①利用公式和 ,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,按照回歸數(shù)列的定義進(jìn)行判斷;
②求出數(shù)列的前項(xiàng)和,按照回歸數(shù)列的定義進(jìn)行判斷;
(2)求出的前項(xiàng)和,根據(jù)是“回歸數(shù)列”,可得到等式,通過(guò)取特殊值,求出的值;
(3)等差數(shù)列的公差為,構(gòu)造數(shù)列,可證明
、是等差數(shù)列,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和,及其通項(xiàng)公式,回歸數(shù)列的概念,即可求出.
(1)①當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,所以數(shù)列是“回歸數(shù)列”;
②因?yàn)?/span>,所以前n項(xiàng)和,根據(jù)題意,
因?yàn)?/span>一定是偶數(shù),所以存在,使得,
所以數(shù)列{}是“回歸數(shù)列”;
(2)設(shè)是等差數(shù)列為,由題意可知:對(duì)任意的正整數(shù),總存在正整數(shù),使得數(shù)列的前項(xiàng)和,即,取,得,解得,公差,所以,又;
(3)設(shè)等差數(shù)列=,
總存在兩個(gè)回歸數(shù)列,顯然和是等差數(shù)列,使得,
證明如下:,
數(shù)列{}前n項(xiàng)和,
時(shí),為正整數(shù),當(dāng)時(shí),,
所以存在正整數(shù),使得,所以{}是“回歸數(shù)列”,
數(shù)列{}前n項(xiàng)和,存在正整數(shù),使得,所以{}是“回歸數(shù)列”,所以結(jié)論成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C是菱形,AC1與A1C交于點(diǎn)O,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).
(1)求證:OE∥平面BCC1B1.
(2)若AC1⊥A1B,求證:AC1⊥BC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給定數(shù)列{cn},如果存在常數(shù)p、q使得cn+1=pcn+q對(duì)任意n∈N*都成立,則稱{cn}為“M類數(shù)列”.
(1)若{an}是公差為d的等差數(shù)列,判斷{an}是否為“M類數(shù)列”,并說(shuō)明理由;
(2)若{an}是“M類數(shù)列”且滿足:a1=2,an+an+1=32n.
①求a2、a3的值及{an}的通項(xiàng)公式;
②設(shè)數(shù)列{bn}滿足:對(duì)任意的正整數(shù)n,都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=32n+1﹣4n﹣6,且集合M={n|≥λ,n∈N*}中有且僅有3個(gè)元素,試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把圓分成個(gè)扇形,設(shè)用4種顏色給這些扇形染色,每個(gè)扇形恰染一種顏色,并且要求相鄰扇形的顏色互不相同,設(shè)共有種方法.
(1)寫出,的值;
(2)猜想 ,并用數(shù)學(xué)歸納法證明。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】高三年級(jí)有500名學(xué)生,為了了解數(shù)學(xué)科的學(xué)習(xí)情況,現(xiàn)從中隨機(jī)抽出若干名學(xué)生在一次測(cè)試中的數(shù)學(xué)成績(jī),制成如下頻率分布表:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
12 | ||
4 | ||
合計(jì) |
根據(jù)上面圖表,求處的數(shù)值
在所給的坐標(biāo)系中畫出的頻率分布直方圖;
根據(jù)題中信息估計(jì)總體平均數(shù),并估計(jì)總體落在中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某手機(jī)廠商推出一款6吋大屏手機(jī),現(xiàn)對(duì)500名該手機(jī)用戶(200名女性,300名男性)進(jìn)行調(diào)查,對(duì)手機(jī)進(jìn)行評(píng)分,評(píng)分的頻數(shù)分布表如下:
女性用戶 | 分值區(qū)間 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻數(shù) | 20 | 40 | 80 | 50 | 10 | |
男性用戶 | 分值區(qū)間 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻數(shù) | 45 | 75 | 90 | 60 | 30 |
(Ⅰ)完成下列頻率分布直方圖,并指出女性用戶和男性用戶哪組評(píng)分更穩(wěn)定(不計(jì)算具體值,給出結(jié)論即可);
(Ⅱ)根據(jù)評(píng)分的不同,運(yùn)用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶,在這20名用戶中,從評(píng)分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶,求3名用戶中評(píng)分小于90分的人數(shù)的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我校舉行“兩城同創(chuàng)”的知識(shí)競(jìng)賽答題,高一年級(jí)共有1200名學(xué)生參加了這次競(jìng)賽.為了解競(jìng)賽成績(jī)情況,從中抽取了100名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).其中成績(jī)分組區(qū)間為,,,,,其頻率分布直方圖如圖所示,請(qǐng)你解答下列問(wèn)題:
(1)求的值;
(2)若成績(jī)不低于90分的學(xué)生就能獲獎(jiǎng),問(wèn)所有參賽學(xué)生中獲獎(jiǎng)的學(xué)生約為多少人;
(3)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這次平均分(用組中值代替各組數(shù)據(jù)的平均值).
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【題目】某手機(jī)廠商推出一款6吋大屏手機(jī),現(xiàn)對(duì)500名該手機(jī)用戶(200名女性,300名男性)進(jìn)行調(diào)查,對(duì)手機(jī)進(jìn)行評(píng)分,評(píng)分的頻數(shù)分布表如下:
女性用戶 | 分值區(qū)間 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻數(shù) | 20 | 40 | 80 | 50 | 10 | |
男性用戶 | 分值區(qū)間 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
頻數(shù) | 45 | 75 | 90 | 60 | 30 |
(Ⅰ)完成下列頻率分布直方圖,并指出女性用戶和男性用戶哪組評(píng)分更穩(wěn)定(不計(jì)算具體值,給出結(jié)論即可);
(Ⅱ)根據(jù)評(píng)分的不同,運(yùn)用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶,在這20名用戶中,從評(píng)分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶,求3名用戶中評(píng)分小于90分的人數(shù)的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|+2|x+b|(a>0,b>0)的最小值為1.
(1)求a+b的值;
(2)若 恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值.
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