【題目】若對(duì)任意的正整數(shù),總存在正整數(shù),使得數(shù)列的前項(xiàng)和,則稱是“回歸數(shù)列”.

(1)①前項(xiàng)和為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”?并請(qǐng)說(shuō)明理由;

②通項(xiàng)公式為的數(shù)列是否是“回歸數(shù)列”?并請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)設(shè)是等差數(shù)列,首項(xiàng),公差,若是“回歸數(shù)列”,求的值;

(3)是否對(duì)任意的等差數(shù)列,總存在兩個(gè)“回歸數(shù)列”,使得成立,請(qǐng)給出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由.

【答案】(1)①是;②是;(2);(3)見解析.

【解析】

(1)①利用公式 ,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,按照回歸數(shù)列的定義進(jìn)行判斷;

②求出數(shù)列的前項(xiàng)和,按照回歸數(shù)列的定義進(jìn)行判斷;

(2)求出的前項(xiàng)和,根據(jù)是“回歸數(shù)列”,可得到等式,通過(guò)取特殊值,求出的值;

(3)等差數(shù)列的公差為,構(gòu)造數(shù)列,可證明

、是等差數(shù)列,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和,及其通項(xiàng)公式,回歸數(shù)列的概念,即可求出.

(1)①當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,,所以數(shù)列是“回歸數(shù)列”;

②因?yàn)?/span>,所以前n項(xiàng)和,根據(jù)題意,

因?yàn)?/span>一定是偶數(shù),所以存在,使得,

所以數(shù)列{}是“回歸數(shù)列”;

(2)設(shè)是等差數(shù)列為,由題意可知:對(duì)任意的正整數(shù),總存在正整數(shù),使得數(shù)列的前項(xiàng)和,即,取,得,解得,公差,所以,又;

(3)設(shè)等差數(shù)列=,

總存在兩個(gè)回歸數(shù)列,顯然是等差數(shù)列,使得,

證明如下:,

數(shù)列{}前n項(xiàng)和,

時(shí),為正整數(shù),當(dāng)時(shí),

所以存在正整數(shù),使得,所以{}回歸數(shù)列,

數(shù)列{}前n項(xiàng)和,存在正整數(shù),使得,所以{}是“回歸數(shù)列”,所以結(jié)論成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)若{an}是“M類數(shù)列”且滿足:a1=2,an+an+1=32n

①求a2、a3的值及{an}的通項(xiàng)公式;

②設(shè)數(shù)列{bn}滿足:對(duì)任意的正整數(shù)n,都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=32n+1﹣4n﹣6,且集合M={n|≥λ,n∈N*}中有且僅有3個(gè)元素,試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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分組

頻數(shù)

頻率

12

4

合計(jì)

根據(jù)上面圖表,求處的數(shù)值

在所給的坐標(biāo)系中畫出的頻率分布直方圖;

根據(jù)題中信息估計(jì)總體平均數(shù),并估計(jì)總體落在中的概率.

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女性用戶

分值區(qū)間

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

頻數(shù)

20

40

80

50

10

男性用戶

分值區(qū)間

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

頻數(shù)

45

75

90

60

30

(Ⅰ)完成下列頻率分布直方圖,并指出女性用戶和男性用戶哪組評(píng)分更穩(wěn)定(不計(jì)算具體值,給出結(jié)論即可);

(Ⅱ)根據(jù)評(píng)分的不同,運(yùn)用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶,在這20名用戶中,從評(píng)分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶,求3名用戶中評(píng)分小于90分的人數(shù)的分布列和期望.

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(1)求的值;

(2)若成績(jī)不低于90分的學(xué)生就能獲獎(jiǎng),問(wèn)所有參賽學(xué)生中獲獎(jiǎng)的學(xué)生約為多少人;

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女性用戶

分值區(qū)間

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

頻數(shù)

20

40

80

50

10

男性用戶

分值區(qū)間

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

頻數(shù)

45

75

90

60

30

(Ⅰ)完成下列頻率分布直方圖,并指出女性用戶和男性用戶哪組評(píng)分更穩(wěn)定(不計(jì)算具體值,給出結(jié)論即可);

(Ⅱ)根據(jù)評(píng)分的不同,運(yùn)用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶,在這20名用戶中,從評(píng)分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶,求3名用戶中評(píng)分小于90分的人數(shù)的分布列和期望.

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