已知圓的方程為x2+y2=4,過點(diǎn)M(2,4)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為A1、A2,直線A1A2恰好經(jīng)過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線x=-1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn),直線AP、BP分別交定直線l:x=-4于兩點(diǎn)Q、R,求證
OQ
OR
為定值.
(Ⅰ)觀察知,x=2是圓的一條切線,切點(diǎn)為A1(2,0),
設(shè)O為圓心,根據(jù)圓的切線性質(zhì),MO⊥A1A2,
kA1A2=-
1
kMO
=-
1
2

∴直線A1A2的方程為y=-
1
2
(x-2)

直線A1A2與y軸相交于(0,1),依題意a=2,b=1,
所求橢圓的方程為
x2
4
+y2=1

(Ⅱ)橢圓方程為
x2
4
+y2=1
,設(shè)P(x0,y0),A(-1,t),B(-1,-t),
則有
x20
+4
y20
-4=0
1
4
+t2=1
,
在直線AP的方程y-t=
t-y0
-1-x0
(x+1)
中,令x=-4,整理得yQ=
(4+x0)t-3y0
(1+x0)
.①
同理,yR=
-3y0-(4+x0)t
(1+x0)
.②
①×②,并將
y20
=1-
1
4
x20
,t2=
3
4
代入得yQ•yR=
9
y20
-(4+x0)2t2
(1+x0)2

=
9(1-
1
4
x20
)-(4+x0)2
3
4
(1+x0)2
=
-3(1+x0)2
(1+x0)2
=-3.
OQ
OR
=(-4,yQ)•(-4,yR)=16+yQyR
=13為定值.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C:x2=2py(p>0)上一點(diǎn)A(m,4)到其焦點(diǎn)F的距離為
17
4

(1)求P與m的值;
(2)若直線l過焦點(diǎn)F交拋物線于P,Q兩點(diǎn),且|PQ|=5,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,橢圓C上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)F距離的最小值與最大值之積為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l過橢圓C內(nèi)一點(diǎn)M(m,0),與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn).對(duì)給定的m值,若存在直線l及直線母x=-2上的點(diǎn)N,使得△PNQ的垂心恰為點(diǎn)F,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線的中心在原點(diǎn),左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為
2
,且過點(diǎn)(4,-
10
)
,
(1)求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線系kx-y-3k+m=0(其中k為參數(shù))所過的定點(diǎn)M恰在雙曲線上,求證:F1M⊥F2M.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓
x2
2
+
y2
4
=1
兩焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn),并滿足
PF1
PF2
=1
,過P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn).
(1)求P點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求證:直線AB的斜率為定值;
(3)求△PAB面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
過點(diǎn)(
3
,
2
2
)
,它的離心率為
6
2
,P、Q分別在雙曲線的兩條漸近線上,M是線段PQ中點(diǎn),|PQ|=2
2

(Ⅰ)求雙曲線及其漸近線方程;
(Ⅱ)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅲ)過C左焦點(diǎn)F1的直線l與C相交于點(diǎn)A、B,F(xiàn)2為C的右焦點(diǎn),求△ABF2面積最大時(shí)
F2A
F2B
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

若直線y=k(x-2)+1與曲線y=-
1-x2
有兩上不同的交點(diǎn),則k的取值范圍是( 。
A.[1,
4
3
]
B.[1,
4
3
)
C.(
3
4
,1]
D.(0,
4
3
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

(Ⅰ)若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別為2+
3
2-
3
,求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖,過坐標(biāo)原點(diǎn)O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點(diǎn).設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PRQS某一邊的距離為d,試求:當(dāng)d=1時(shí)
1
a2
+
1
b2
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

平面直角坐標(biāo)系xOy中,過橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x+y-
3
=0交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為
1
2

(Ⅰ)求M的方程
(Ⅱ)C,D為M上的兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值.

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