(2006•靜安區(qū)二模)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+3a(其中a>0且a≠1).
(1)求函數(shù)y=f-1(x)的解析式;
(2)設(shè)g(x)=loga(x-a),當(dāng)0<a<1時(shí),求函數(shù)h(x)=f-1(x)+g(x)在閉區(qū)間[a+2,a+3]上的最小值與最大值.
分析:(1)設(shè)y=ax+3a,根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的對(duì)應(yīng)關(guān)系,用y表示x后,可得函數(shù)y=f-1(x)的解析式;
(2)根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的圖象和性質(zhì),判斷出h(x)=loga(x2-4ax+3a2)在閉區(qū)間[a+2,a+3]上的單調(diào)性,進(jìn)而可得函數(shù)的最值.
解答:解:(1)設(shè)y=ax+3a,則ax=y-3a…(2分),
兩邊取對(duì)數(shù)得:x=loga(y-3a)…(4分),
所以f-1(x)=loga(x-3a)…(6分)
(2)設(shè)h(x)=f-1(x)+g(x),
h(x)=loga(x2-4ax+3a2),…(8分)
二次函數(shù)u=x2-4ax+3a2的對(duì)稱(chēng)軸為x=2a<2,
所以u(píng)=x2-4ax+3a2在x∈[a+2,a+3]上為增函數(shù),…(10分)
當(dāng)x=a+2時(shí),取得最小值4(1-a),
當(dāng)x=a+3時(shí)取得最大值3(3-2a)…(12分)
∵0<a<1從而可得
h(x)=loga(x2-4ax+3a2)在閉區(qū)間[a+2,a+3]上的最小值與最大值分別為loga3(3-2a),loga4(1-a)…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,反函數(shù),是函數(shù)圖象和性質(zhì)是綜合應(yīng)用,難度中檔.
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