Question

已知向量

m

=（sinx，-1），向量

n

=（

3

cosx，

1

2

），函數(shù)f（x）=（

m

+

n

）•

m

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T及單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）-t在x∈[

π

4

，

π

2

]上有零點，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）代入向量運算，運用倍角及兩角差的正弦公式化成正弦型函數(shù)的標準形式，利用周期公式T=

2π

|ω|

求周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）-t在x∈[

π

4

，

π

2

]上有零點，只要t在函數(shù)f（x）的值域中取值即可，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)f（x）值域問題．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（

m

+

n

）•

m

=sin²x+

3

sinxcosx+

1

2

=

1-cos2x

2

+1+

3

2

sin2x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2
=sin（2x-

π

6

）+2；
因為ω=2，所以T=

2π

2

=π．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，（k∈Z）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，（k∈Z）
（Ⅱ）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴

π

3

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，
∴

5

2

≤f(x)≤3，
∵方程f（x）-t=0在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，
∴

5

2

≤t≤3，
∴實數(shù)t的取值范圍是[

5

2

，3]．

點評：本題考查了向量的運算、三角恒等變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解決本題的關鍵是利用三角公式把函數(shù)化成正弦型函數(shù)的標準形式．第（Ⅱ）關鍵是把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題．