Question

數(shù)列{a_n}是以a為著項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，令b_n=1-a₁-a₂-a₃-…-a_n，C_n=2-b₁-b₂-b₃-…-b_n．n∈N*
（1）試用a，q表示b_n和c_n；
（2）若a＜0，q＞0且q≠1，試比較c_n與c_n+1的大�。�
（3）是否存在實(shí)數(shù)對(duì)（a，q），其中q≠1，使{c_n}成等比數(shù)列，若存在，求出實(shí)數(shù)對(duì)（a，q）和{c_n}的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）分q=1與q≠1可用a，q表示b_n和c_n；
（2）利用b_n=1-a₁-a₂-a₃-…-a_n，C_n=2-b₁-b₂-b₃-…-b_n，c_n+1-c_n=-1+

a

1-q

(1-qn+1)，其中1+q+q²+…+qⁿ=

1-qn+1

1-q

(q≠1)，q＞0，從而可判斷c_n+1-與c_n的大小；
（3）由題意可將c_n化為：cn=2-

aq

(1-q)2

+

q-1+a

1-q

n-

aqn+1

(1-q)2

，若{cn}成等比數(shù)列，則令

2- aq (1-q)2 =0  ① q-1+a 1-q =0  ②

看看是否能求得滿(mǎn)足條件的a與q，即可．

解答：解：（1）當(dāng)q=1時(shí)，an=a，bn=1-na，cn=2+

n(na+a-2)

2

．
當(dāng)q≠1時(shí)，an=aqn-1，bn=1-

a

1-q

+

aqn

1-q

，cn=2-(1-

a

1-q

)n-

a

1-q

•

q(1-qn)

1-q

=2-

aq

(1-q)2

+

q-1+a

1-q

n+

aqn+1

(1-q)2

（2）cn+1-cn=-bn+1=-1+

a

1-q

-

aqn+1

1-q

=-1+

a

1-q

(1-qn+1)，
因?yàn)?+q+q²+…+qⁿ=

1-qn+1

1-q

(q≠1)
由已知q＞0，
1+q+q2+…+qn＞0，即

1-qn+1

1-q

＞0
又a＜0，則

a

1-q

(1-qn+1)＜0
亦即-1+

a

1-q

(1-qn+1)＜0．
所以c_n+1-c_n＜0，即c_n+1＜c_n；
（3）∵cn=2-

aq

(1-q)2

+

q-1+a

1-q

n-

aqn+1

(1-q)2

，
若{cn}成等比數(shù)列，則令

2- aq (1-q)2 =0  ① q-1+a 1-q =0  ②

由②得a=1-q，代入①得2-

q

1-q

=0．
所以q=

2

3

，a=

1

3

，此時(shí)cn=

1

3

×

( 2 3 )n+1

(1- 2 3 )2

=

4

3

(

2

3

)n-1．
所以存在實(shí)數(shù)對(duì)（a，q）為(

1

3

，

2

3

)，使{cn}成為以

4

3

為首項(xiàng)，

2

3

為公比的等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查學(xué)生等比數(shù)列的求和及綜合分析與應(yīng)用解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，屬于難題．