數(shù)列{an}是以a為首項,q為公比的等比數(shù)列.令bn=1-a1-a2-…-an,cn=2-b1-b2-…-bn,n∈N*
(1)試用a、q表示bn和cn;
(2)若a<0,q>0且q≠1,試比較cn與cn+1的大。
(3)是否存在實數(shù)對(a,q),其中q≠1,使{cn}成等比數(shù)列.若存在,求出實數(shù)對(a,q)和{cn};若不存在,請說明理由.
分析:(1)分兩種情況考慮,當q=1時,得到數(shù)列{an}每一項都為a,代入bn=1-a1-a2-…-an中,得到bn,列舉出bn的各項,代入cn=2-b1-b2-…-bn中,利用等差數(shù)列的前n項和公式化簡后,得到cn;當q不等于1時,利用等比數(shù)列的前n項和公式表示出數(shù)列{an}的前n項和,代入bn=1-a1-a2-…-an中,得到bn,列舉出bn的各項,代入cn=2-b1-b2-…-bn中,利用等比數(shù)列的前n項和公式化簡后,得到cn,綜上,分別寫出bn和cn的通項即可;
(2)根據(jù)q不等于1,由(1)求出的通項找出cn與cn+1,利用做差法比較大小,方法是表示出cn+1-cn,化簡后根據(jù)已知的條件,判斷其差的正負,即可得到cn與cn+1的大小關(guān)系;
(3)存在.根據(jù)q不等于1和0,由(1)找出數(shù)列{cn}的通項,因為{cn}成等比數(shù)列,所以得到此數(shù)列為常數(shù)列或常數(shù)項和n項的系數(shù)為0,列出關(guān)于a與q的方程,求出方程的解即可得到a與q的值,經(jīng)過檢驗得到滿足題意的a與q的值.
解答:解:(1)當q=1時,bn=1-(a1+a2+…+an)=1-na,cn=2-(b1+b2+…+bn)=2-
[(1-a)+(1-na)]n
2
=
a
2
n2+(
a
2
-1)n+2
,
當q≠1時,bn=1-(a1+a2+…+an)=1-
a(1-qn)
1-q
cn=2-(b1+b2+…+bn)=2-(1-
a
1-q
)n-
a
1-q
(q+q2+…+qn)

=2-(1-
a
1-q
)n-
aq
(1-q)2
(1-qn)

=2-
aq
(1-q)2
-(1-
a
1-q
)n+
aq
(1-q)2
qn

所以bn=
1-na,q=1
1-
a(1-qn)
1-q
,q≠1

cn=
a
2
n2+(
a
2
-1)n+2  q=1
2-
aq
(1-q)2
-(1-
a
1-q
)n+
aq
(1-q)2
qn q≠1
;(4分)
(2)因為cn=2-
aq
(1-q)2
-(1-
a
1-q
)n+
aq
(1-q)2
qn
,
所以cn+1=2-
aq
(1-q)2
-(1-
a
1-q
)(n+1)+
aq
(1-q)2
qn+1
cn+1-cn=-(1-
a
1-q
)+
aq
(1-q)2
(qn+1-qn)=-1+
a
1-q
(1-qn+1)

當q>1時,1-q<0,1-qn+1<0;
當0<q<1時,1-q>0,1-qn+1>0,
所以當a<0,q>0且q≠1時,cn+1-cn<0,即cn+1<cn;(5分)
(3)因為q≠1,q≠0,
所以cn=2-
aq
(1-q)2
-(1-
a
1-q
)n+
aq
(1-q)2
qn
,
因為{cn}為等比數(shù)列,則
2-
aq
(1-q)2
=0
1-
a
1-q
=0
aq
(1-q)2
=0
1-
a
1-q
=0
,
所以
a=
1
3
q=
2
3
a=1
q=0
(舍去),所以
a=
1
3
q=
2
3
.(5分)
點評:此題考查學生靈活運用等差、等比數(shù)列的前n項和公式化簡求值,掌握等比數(shù)列的性質(zhì),會利用做差法比較兩式子的大小,是一道中檔題.學生在利用等比數(shù)列的前n項和公式時注意公比q不為1.
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數(shù)列An的前m項為A1,A2,…,Am,若對任意正整數(shù)n,有A(n+m)=An•q(其中q為常數(shù),q不等于0,1),則稱數(shù)列An是以m為周期,以q為周期公比的似周期性等比數(shù)列.已知似周期性等比數(shù)列Bn的前7項為1,1,1,1,1,1,2,周期為7,周期公比為3,則數(shù)列Bn前7k+1項的和
 
.(k為正整數(shù)).

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設(shè)數(shù)列{an}是以a為首項,t為公比的等比數(shù)列,令bn=1+a1+a2+…+an,cn=2+b1+b2+…+bn,n∈N
(1)試用a,t表示bn和cn
(2)若a>0,t>0且t≠1,試比較cn與cn+1(n∈N)的大小
(3)是否存在實數(shù)對(a,t),其中t≠1,使得{cn}成等比數(shù)列,若存在,求出實數(shù)對(a,t)和{cn};若不存在說明理由.

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設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若對于任意的n∈N*,都有Sn=2an-3n,

(1)求數(shù)列{an}的首項與遞推關(guān)系式an+1=f(an);

(2)先閱讀下面定理,若數(shù)列{an}有遞推關(guān)系an+1=Aan+B,其中A、B為常數(shù),且A≠1,B≠0,則數(shù)列{an-}是以A為公比的等比數(shù)列,請你在第(1)題的基礎(chǔ)上應(yīng)用本定理,求數(shù)列{an}的通項公式;

(3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(理)(1)證明:若數(shù)列{an}有遞推關(guān)系an+1=Aan+B,其中A、B為常數(shù),且A≠1,B≠0,則數(shù)列{an}是以A為公比的等比數(shù)列;

(2)若數(shù)列{an}對于任意的n∈N*都有Sn=2an-n,令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函數(shù)f(x)在x=1處的導數(shù).

(文)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知對于任意的n∈N*,都有Sn=2an-n.

(1)求數(shù)列{an}的首項a1及遞推關(guān)系式:an+1=f(an);

(2)先閱讀下面的定理:“若數(shù)列{an}有遞推關(guān)系an+1=Aan+B,其中A、B為常數(shù),且A≠1,B≠0,

則數(shù)列{an}是以A為公比的等比數(shù)列”.請你在(1)的基礎(chǔ)上應(yīng)用本定理,求數(shù)列{an}的通項公式;

(3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn

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