Question

（本小題滿分12分）
橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)，滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程．

Answer 1

(1) (2)

試題分析：解：(1)設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824004312189616.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以. …………………………………………………………………2分
整理得，得(舍)，或.
所以.……………………………………………………………………………………4分
(2)由(1)知，橢圓方程，的方程為．
兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，消去并整理，得.
解得.得方程組的解，.………………………7分
不妨設(shè)，則.
于是.
圓心到直線的距離.………………10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240043126411071.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，整理得.
得 (舍)，或.
所以橢圓方程為. ……………………………………………………………12分
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能利用其性質(zhì)得到關(guān)系式，同時(shí)聯(lián)立方程組，求解交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到弦長，以及點(diǎn)到直線距離得到結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題。