Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥CD；
（Ⅱ）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）求DB與平面DEF所成角的大小．

Answer 1

分析：解法一：（Ⅰ）由圖形知，可先證CD垂直于PA，由PA∥EF，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）G是AD的中點(diǎn)，取PC的中點(diǎn)H，連接DH，可得出DH∥GF，先證DH⊥平面PCB．即可得結(jié)論GF⊥平面PCB；
（Ⅲ）求DB與平面DEF所成角的大小，由題設(shè)，令底面邊長為a，BD易求，由圖形結(jié)構(gòu)知，可用等體積法求出B到面DEF的距離，由此線面的正弦求得．
解法二：以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)AD=a，給出各點(diǎn)的坐標(biāo)
（Ⅰ）求出兩直線的方向向量的坐標(biāo)，用內(nèi)積為0證之；
（Ⅱ）設(shè)G（x，0，z），由題意

GF

必是平面的法向量，故與平面的向量內(nèi)積為0，由此得方程，求出參數(shù)的值，發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)G的位置．
（Ⅲ）求DB與平面DEF所成角的大小，求出直線DB的方向向量與平面DEF的法向量，由公式求出即可．

解答：解：法一（Ⅰ）由題意，如圖可得EF∥PA，∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形∴CD⊥面PAD
∴CD⊥PA，∴EF⊥CD
（Ⅱ）答：G是AD的中點(diǎn)．
取PC的中點(diǎn)H，連接DH.

∵PD=DC

，∴DH⊥PC.，∴BC⊥DH，∴DH⊥平面PCB.，∴四邊形DGFH為平行四邊形，
∴GF⊥平面PCB．
（Ⅲ）設(shè)B到平面DEF的距離為d，下用等體積法求d
.

∵VB-DEF=VF-DEB

，
∴

1

3

S△DEF•d=

1

3

S△DEB•FO．，
S△DEB=

1

4

a2，EF=

1

2

AP=

2 a

2

，
DF=

1

2

PB=

1

2

3

a，DE=

a2+ a2 4

=

5

2

a．
∵EF2+DF2=

2

4

a2+

3

4

a2=

5

4

a2=DE2
∴∠DFE=90°
∴S△DEF=

6

8

a2，
∴

6

8

a2•d=

1

4

a2•

1

2

a?d=

1

6

a．
設(shè)DB與平面DEF所成角為θ，則sinθ=

d

DB

=

3

6

，
∴DB與平面DEF所成角為arcsin

3

6

．
∵BD=

2

a
∴DB與平面DEF所成角的正弦為

1 6 a

2 a

=

3

6

，∴DB與平面DEF所成角arcsin

3

6

法二：
以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)AD=a，則
D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）E(a，

a

2

，0)、F(

a

2

，

a

2

，

a

2

)、P（0，0，a）．
（Ⅰ）

EF

•

DC

=(-

a

2

，0，

a

2

)•(0，a，0)=0，
∴EF⊥DC．
（Ⅱ）設(shè)G（x，0，z），則G∈平面PAD．

FG =(x- a 2 ，- a 2 ，z- a 2 )， FG • CB =(x- a 2 ，- a 2 ，z- a 2 )•(a，0，0)=a(x- a 2 )=0，x= a 2 ； FG • CP =(x- a 2 ，- a 2 ，z- a 2 )•(0，-a，a)= a2 2 +a(z- a 2 )=0，z=0. ∴G點(diǎn)坐標(biāo)為( a 2 ，0，0)，即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn)．

（Ⅲ）設(shè)平面DEF的法向量為

n

=(x，y，z)．

由 n • DF =0 n • DE =0 得 (x，y，z)•( a 2 a 2 a 2 )=0 (x，y，z)•(a a 2 ，0)=0 即 a 2 (x+y+z)=0 ax+ a 2 y=0. 取x=1，則y=-2，z=1， ∴ n =(1，-2，1)． cos＜ BD ， n ＞= BD • n | BD || n | = a 2 a• 6 = 3 6 ， ∴DB與平面DEF所成角大小為 π 2 -arccos 3 6 (即arcsin 3 6 )．

點(diǎn)評：本題考查空間的線面關(guān)系、線面角、空間向量及坐標(biāo)運(yùn)算等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，求解本題的關(guān)鍵是正確理解線面角的定義，及線面角與向量夾角的對應(yīng)關(guān)系，易公式用錯導(dǎo)致錯誤．