【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn),試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)時(shí),對(duì)于任意,不等式恒成立.
【答案】(1) 當(dāng)或時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,
單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),
單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(2)見(jiàn)解析.
【解析】分析:(1)求出導(dǎo)數(shù),由無(wú)極值點(diǎn),得 (或恒成立,從而得,于是的,再求出導(dǎo)數(shù),通過(guò)研究的根的情況得出()的解集,從而得的單調(diào)性;
(2)利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可證,又在時(shí),,因此要證題中不等式成立,只要證,這可由二次函數(shù)的性質(zhì)得證.
詳解:(1)
,
因?yàn)楹瘮?shù)在上沒(méi)有極值點(diǎn),所以有,解得,
此時(shí),
則,
,
(i)當(dāng)時(shí),在上,單調(diào)遞減,
在上,單調(diào)遞增,
(ii)當(dāng)時(shí),令方程的,解得或
①當(dāng)時(shí),在上,函數(shù)單調(diào)遞增,
②當(dāng)時(shí),在上,函數(shù)單調(diào)遞減,
當(dāng),即且時(shí),方程的兩根為,
③當(dāng)時(shí),, 當(dāng) ,
,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),, 單調(diào)遞增,
④當(dāng)時(shí),,當(dāng),
,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),, 單調(diào)遞減.
綜上所述:當(dāng)或時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,
單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),
單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(2)解:令,令,可得,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng),,單調(diào)遞增,
所以,即,
因?yàn)?/span>,所以,
又當(dāng)時(shí),,事實(shí)上.
要證原不等式成立,只需證明不等式,即.
事實(shí)上,令.
因?yàn)?/span>,二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,所以,
令,關(guān)于在上單調(diào)遞減,所以
所以.
所以,當(dāng)時(shí),對(duì)于任意的,
不等式恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為 (其中為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求C的普通方程和直線的傾斜角;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)(0,2),和交于兩點(diǎn),求.
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【題目】(1)已知扇形的周長(zhǎng)為8,面積是4,求扇形的圓心角.
(2)已知扇形的周長(zhǎng)為40,當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí),才使扇形的面積最大?
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【題目】已知曲線C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),則下面結(jié)論正確的是( )
A. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2
B. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2
C. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2
D. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2
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【題目】某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下:
①若,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè);
②若,則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè);
③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.
假設(shè)轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).
(Ⅰ)求小亮獲得玩具的概率;
(Ⅱ)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再計(jì)算下一期的利息.某同學(xué)有壓歲錢1000元,存入銀行,年利率為2.25%;若放入微信零錢通或
者支付寶的余額寶,年利率可達(dá)4.01%.如果將這1000元選擇合適方式存滿5年,可以多獲利息( )元.(參考數(shù)據(jù):)
A. 176 B. 100 C. 77 D. 88
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,則下列結(jié)論中正確的是( )
A. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象
B. 函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱
D. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若拋物線的焦點(diǎn)是,準(zhǔn)線是,點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn),則經(jīng)過(guò)點(diǎn)、且與相切的圓共( )
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 4個(gè)
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【題目】已知函數(shù).
(1) 如果,求函數(shù)的值域;
(2) 求函數(shù)=的最大值;
(3) 如果對(duì)不等式中的任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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