Question

在半徑為R的半球內(nèi)有一內(nèi)接圓柱，則這個(gè)圓柱的體積的最大值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：設(shè)這個(gè)圓柱的高為h，可得這個(gè)圓柱的體積V=π（-h³+R²h）．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得V在（0，R）上是增函數(shù)，在（R，R）上是減函數(shù)，由此可得當(dāng)h=R時(shí)，圓柱的體積的最大值是πR²．
解答：設(shè)這個(gè)圓柱的高為h，底面半徑為r，可得
h²+r²=R²，所以r=
∴這個(gè)圓柱的體積V=πr²h=π（-h³+R²h）
∵V'=π（-3h²+R²）=-3π（h+R）（h-R）
V'＞0，得h＜R； V'＜0，得h＞R
∴V在（0，R）上是增函數(shù)，在（R，R）上是減函數(shù)
因此，當(dāng)h=R時(shí)，圓柱的體積的最大值V_max=π[-（R）³+R²×R）=πR²
故選：A
點(diǎn)評(píng)：本題給出半球，求其內(nèi)接圓柱的體積最大值，著重考查了球內(nèi)接多面體、圓柱體積公式和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值等知識(shí)，屬于中檔題．