【題目】如圖,設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)A與AF2垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q,且0,若過 A,Q,F(xiàn)2三點(diǎn)的圓恰好與直線相切,過定點(diǎn) M(0,2)的直線與橢圓C交于G,H兩點(diǎn)(點(diǎn)G在點(diǎn)M,H之間).(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)設(shè)直線的斜率,在x軸上是否存在點(diǎn)P(,0),使得以PG,PH為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的取值范圍;如果不存在,請(qǐng)說明理由;(Ⅲ)若實(shí)數(shù)滿足,求的取值范圍.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
試題(1)利用向量確定F1為F2Q中點(diǎn),設(shè)Q的坐標(biāo)為(-3c,0),因?yàn)锳Q⊥AF2,所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2,再由直線與圓相切得 解得c=1,利用橢圓基本量之間的關(guān)系求b;(2)假設(shè)存在,設(shè)方程,聯(lián)立方程組,消元后由判別式大于0可得出,又四邊形為菱形時(shí),對(duì)角線互相垂直,利用向量處理比較簡(jiǎn)單,,化簡(jiǎn)得(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,再由 代入化簡(jiǎn)得:,
解得,利用均值不等式范圍;(3) 斜率存在時(shí)設(shè)直線方程,聯(lián)立消元,,再由,進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算,代入化簡(jiǎn),分離k與,利用k的范圍求,注意驗(yàn)證斜率不存在時(shí)情況.
試題解析:(1)因?yàn)?/span>0,所以F1為F2Q中點(diǎn)
設(shè)Q的坐標(biāo)為(-3c,0),因?yàn)锳Q⊥AF2,所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2,
且過A,Q,F(xiàn)2三點(diǎn)的圓的圓心為F1(-c,0),半徑為2c.
因?yàn)樵搱A與直線L相切,所以 解得c=1,所以a=2,故所求橢圓方程為.(2)設(shè)L1的方程為y=kx+2(k>0)由得(3+4k2)x2+16kx+4=0,
由△>0,得 所以k>1/2,設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2),則所以(x1-m,y1)+(x2-m,y2)=(x1+x2-2m,y1+y2)=(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4)(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1)),由于菱形對(duì)角線互相垂直,因此所以(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0,故(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0因?yàn)閗>0,所以x2-x1≠0所以(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,即(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0,所以
,解得, 因?yàn)閗>0,所以故存在滿足題意的點(diǎn)P且m的取值范圍是.(3)①當(dāng)直線L1斜率存在時(shí),設(shè)直線L1方程為y=kx+2,代入橢圓方程,得(3+4k2)x2+16kx+4=0 , 由△>0,得,設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2), 則,又,所以(x1,y1-2)=λ(x2,y2-2), 所以x1=λx2, 所以,∴ ∴,整理得 ,因?yàn)?/span>, 所以 ,解得又0<λ<1,所以 .②當(dāng)直線L1斜率不存在時(shí),直線L1的方程為x=0,
span> ,,,所以 .綜上所述, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)一批零件,為了解這批零件的質(zhì)量狀況,檢驗(yàn)員從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100件作為樣本進(jìn)行檢測(cè),將它們的重量(單位:g)作為質(zhì)量指標(biāo)值.由檢測(cè)結(jié)果得到如下頻率分布直方圖.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
8 | ||
16 | 0.16 | |
4 | 0.04 | |
合計(jì) | 100 | 1 |
(1)求圖中的值;
(2)根據(jù)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:零件重量小于47或大于53為不合格品,重量在區(qū)間和內(nèi)為合格品,重量在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品.已知每件產(chǎn)品的檢測(cè)費(fèi)用為5元,每件不合格品的回收處理費(fèi)用為20元.以抽檢樣本重量的頻率分布作為該零件重量的概率分布.若這批零件共件,現(xiàn)有兩種銷售方案:方案一:不再檢測(cè)其他零件,整批零件除對(duì)已檢測(cè)到的不合格品進(jìn)行回收處理,其余零件均按150元/件售出;方案二:繼續(xù)對(duì)剩余零件的重量進(jìn)行逐一檢測(cè),回收處理所有不合格品,合格品按150元/件售出,優(yōu)質(zhì)品按200元/件售出.僅從獲得利潤(rùn)大的角度考慮,該生產(chǎn)商應(yīng)選擇哪種方案?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如題所示:扇形ABC是一塊半徑為2千米,圓心角為60°的風(fēng)景區(qū),P點(diǎn)在弧BC上,現(xiàn)欲在風(fēng)景區(qū)中規(guī)劃三條三條商業(yè)街道PQ、QR、RP,要求街道PQ與AB垂直,街道PR與AC垂直,直線PQ表示第三條街道。
(1)如果P位于弧BC的中點(diǎn),求三條街道的總長(zhǎng)度;
(2)由于環(huán)境的原因,三條街道PQ、PR、QR每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每千米300萬元、200萬元及400萬元,問:這三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高為多少?(精確到1萬元)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】年月,中國(guó)良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄,標(biāo)志著中華五千年文明史得到國(guó)際社會(huì)認(rèn)可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例,實(shí)證了中華五千年文明史.考古科學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳的質(zhì)量隨時(shí)間(單位:年)的衰變規(guī)律滿足(表示碳原有的質(zhì)量),則經(jīng)過年后,碳的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>________;經(jīng)過測(cè)定,良渚古城遺址文物樣本中碳的質(zhì)量是原來的至,據(jù)此推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約在________年到年之間.(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性.
(2)試問是否存在,使得對(duì)恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)長(zhǎng)方體中,,,是的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上.
(1)試在線段上確定點(diǎn)的位置,使得異面直線與所成角為,并請(qǐng)說明你的理由;
(2)在滿足(1)的條件下,求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棱長(zhǎng)為2的正方體中,點(diǎn)是對(duì)角線上的點(diǎn)(點(diǎn)與、不重合),則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( )
①存在點(diǎn),使得平面平面;
②存在點(diǎn),使得平面;
③若的面積為,則;
④若、分別是在平面與平面的正投影的面積,則存在點(diǎn),使得.
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在等腰梯形中,兩腰,底邊,,,是的三等分點(diǎn),是的中點(diǎn).分別沿,將四邊形和折起,使,重合于點(diǎn),得到如圖2所示的幾何體.在圖2中,,分別為,的中點(diǎn).
(1)證明:平面.
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線:(),直線:,與交于P、Q兩點(diǎn),為P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),直線與y軸交于點(diǎn);
(1)若點(diǎn)是的一個(gè)焦點(diǎn),求的漸近線方程;
(2)若,點(diǎn)P的坐標(biāo)為,且,求k的值;
(3)若,求n關(guān)于b的表達(dá)式.
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