Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2x－3.

(1)求f(x)在區(qū)間[2a－1,2]上的最小值g(a)；

(2)求g(a)的最大值.

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)-3.

【解析】試題分析:(1)對(duì)函數(shù)配方可得對(duì)稱軸為,對(duì)區(qū)間端點(diǎn)與1的大小進(jìn)行比較,分類討論得出函數(shù)的最小值;(2)對(duì)分段函數(shù)在和時(shí)分別求出最大值,最后得出函數(shù)的最大值.

試題解析:

(1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，

∴當(dāng)2a－1≤0，即a≤時(shí)，f(x)min＝f(2a－1)＝－4a2＋8a－6；

當(dāng)0＜2a－1＜2，即<a<時(shí)，f(x)min＝f(2)＝－3.

所以g(a)＝

(2)當(dāng)a≤時(shí)，g(a)＝－4a2＋8a－6單調(diào)遞增，∴g(a)≤g＝－3；

又當(dāng)<a<時(shí)，g(a)＝－3，∴g(a)的最大值為－3.

點(diǎn)睛: 二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)處取到；常見(jiàn)題型有：（1）軸固定區(qū)間也固定；（2）軸動(dòng)（軸含參數(shù)），區(qū)間固定；（3）軸固定，區(qū)間動(dòng)（區(qū)間含參數(shù)）. 找最值的關(guān)鍵是：（1）圖象的開(kāi)口方向；（2）對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；（3）結(jié)合圖象及單調(diào)性確定函數(shù)最值.