(本小題滿分14分)
如圖,四棱錐
的底面
為菱形,
平面
,
, E、F分別為
的中點,
.
(Ⅰ)求證:平面
平面
.
(Ⅱ)求平面
與平面
所成的銳二面角的余弦值.
(Ⅰ)先證得
.
再證得
.由
,證出
平面
,所以,平面
平面
.
(Ⅱ)平面
與平面
所成的銳二面角的余弦值為
.
試題分析:(Ⅰ)∵四邊形
是菱形,
∴
.
在
中,
,
,
∴
.
∴
,即
.
又
, ∴
.…………………2分
∵
平面
,
平面
,
∴
.又∵
,
∴
平面
,………………………………………4分
又∵
平面
,
平面
平面
. ………………………………6分
(Ⅱ)解法一:由(1)知
平面
,而
平面
,
∴平面
平面
………………………7分
∵
平面
,∴
.
由(Ⅰ)知
,又
∴
平面
,又
平面
,
∴平面
平面
.…………………………9分
∴平面
是平面
與平面
的公垂面.
所以,
就是平面
與平面
所成的銳二面角的平面角.……10分
在
中,
,即
.……………11分
又
,
∴
.
所以,平面
與平面
所成的銳二面角的余弦值為
.…………14分
理(Ⅱ)解法二:以
為原點,
、
分別為
軸、
軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系
,如圖所示.因為
,
,所以,
、
、
、
,…………7分
則
,
,
.………8分
由(Ⅰ)知
平面
,
故平面
的一個法向量為
.……………………9分
設(shè)平面
的一個法向量為
,
則
,即
,令
,
則
. …………………11分
∴
.
所以,平面
與平面
所成的銳二面角的余弦值為
.……14分
點評:典型題,立體幾何題,是高考必考內(nèi)容,往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計算。在計算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計算”的步驟,本題解法較多二應(yīng)用向量則簡化了證明過程。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖:在三棱錐
中,
面
,
是直角三角形,
,
,
,點
分別為
的中點。
⑴求證:
;
⑵求直線
與平面
所成的角的大;
⑶求二面角
的正切值。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
如圖所示,在正四棱錐S-ABCD中,
是
的中點,P點在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運動,并且總是保持
.則動點
的軌跡與△
組成的相關(guān)圖形最有可有是圖中的( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,棱長為2的正方體
中,E,F滿足
.
(Ⅰ)求證:EF//平面AB
;
(Ⅱ)求證:EF
;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
如圖,矩形
與矩形
所在的平面互相垂直,將
沿
翻折,翻折后的點
E恰與
BC上的點
P重合.設(shè)
,
,
,則當(dāng)
__時,
有最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知直線l垂直平面a,垂足為O.在矩形ABCD中AD=1,AB=2,若點A在l上移動,點 B在平面a上移動,則O、D兩點間的最大距離為
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分12分)三棱錐
中,
,
,
.
(Ⅰ)求證:平面
平面
;
(Ⅱ)若
,且異面直線
與
的夾角為
時,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在四棱錐
中,底面
是正方形,側(cè)面
是正三角形,且平面
⊥底面
(1)求證:
⊥平面
(2)求直線
與底面
所成角的余弦值;
(3)設(shè)
,求點
到平面
的距離.
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