Question

某單位有三輛汽車參加某種事故保險(xiǎn)，年初向保險(xiǎn)公司繳納每輛900元的保險(xiǎn)金，對(duì)在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的每輛汽車，單位可獲9000元的賠償（假設(shè)每輛車每年最多只賠償一次），設(shè)這三輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為

1

9

、

1

10

、

1

11

，且各車是否發(fā)生事故相互獨(dú)立，求一年內(nèi)該單位在此保險(xiǎn)中：
（1）獲賠的概率；
（2）獲賠金額ξ的分布列．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，該單位一年內(nèi)獲賠的對(duì)立事件是三輛車都不發(fā)生這樣的事故，根據(jù)相互獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式得到結(jié)果．
（2）（2）由題意知ξ的所有可能值為0，9000，18000，27000．結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式做出這幾種情況的概率，寫出分布列．

解答：解：設(shè)A_k表示第k輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故，k=1，2，3．
由題意知A₁、A₂、A₃相互獨(dú)立，且P（A₁）=

1

9

，P（A₂）=

1

10

，P（A₃）=

1

11

．
（1）該單位一年內(nèi)獲賠的對(duì)立事件是三輛車都不發(fā)生這樣的事故，
根據(jù)相互獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式得到
1-P（

.

A1

.

A2

.

A3

）=1-P（

.

A1

）P（

.

A2

）P（

.

A3

）=1-

8

9

×

9

10

×

10

11

=

3

11

．
（2）由題意知ξ的所有可能值為0，9000，18000，27000．
結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件做出這幾種情況的概率，
P（ξ=0）=P（

.

A1

.

A2

.

A3

）=P（

.

A1

）P（

.

A2

）P（

.

A3

）=

8

9

×

9

10

×

10

11

=

8

11

，
P（ξ=9000）=P（A₁

.

A2

.

A3

）+P（

.

A1

A₂

.

A3

）+P（

.

A1

.

A2

A₃）
=P（A₁）P（

.

A2

）P（

.

A3

）+P（

.

A1

）P（A₂）P（

.

A3

）+P（

.

A1

）P（

.

A2

）P（A₃）
=

1

9

×

9

10

×

10

11

+

8

9

×

1

10

×

10

11

+

8

9

×

9

10

×

1

11

=

242

990

=

11

45

，
P（ξ=18000）=P（A₁A₂

.

A3

）+P（A₁

.

A2

A₃）+P（

.

A1

A₂A₃）
=P（A₁）P（A₂）P（

.

A3

）+P（A₁）P（

.

A2

）P（A₃）+P（

.

A1

）P（A₂）P（A₃）
=

1

9

×

1

10

×

10

11

+

1

9

×

9

10

×

1

11

+

8

9

×

1

10

×

1

11

=

27

990

=

3

110

，
P（ξ=27000）=P（A₁A₂A₃）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）=

1

9

×

1

10

×

1

11

=

1

990

．
∴ξ的分布列為

點(diǎn)評(píng)：考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，相互獨(dú)立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，而對(duì)立事件是指同一次試驗(yàn)中，不會(huì)同時(shí)發(fā)生的事件，遇到求用至少來(lái)表述的事件的概率時(shí)，往往先求它的對(duì)立事件的概率．