Question

下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0，+∞）上單調遞減的函數(shù)是（　�。�

• A、y=

  1

  2

  +

  1

  2x+1

• B、y=

  1

  2

  -

  1

  2x+1

• C、y=

  1

  2

  +

  1

  2x-1

• D、y=

  1

  2

  -

  1

  2x-1

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：B和D由復合函數(shù)的單調性知，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
A和C在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，但A不是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義知C是奇函數(shù)．

解答： 解：A：f(x)=

1

2

+

1

2x+1

，則f(-x)=

1

2

+

1

2-x+1

=

1

2

+

2x

1+2x

≠-f（x），∴不是奇函數(shù)，A不合意意；
B：y=

1

2

-

1

2x+1

在（0，+∞）上單調遞增，B不合意意；
C：f(x)=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2(2x-1)

，f(-x)=

2-x+1

2(2-x-1)

=

1+2x

2(1-2x)

=-

2x+1

2(2x-1)

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數(shù)，又f（x）在（0，+∞）上單調遞減，∴C符合題意．
D：y=

1

2

-

1

2x-1

在（0，+∞）上單調遞增，D不合意意；
故選：C．

點評：本題考查了函數(shù)的單調性和奇偶性，運用復合函數(shù)的性質判斷函數(shù)的單調性，運用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，屬于基礎題．