Question

已知向

a

=(sinx，2

3

cosx)，

b

=(2sinx，sinx)，設(shè)f(x)=

a

•

b

-1．
（Ⅰ）若x∈[0，

π

2

]，求f(x)的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=α（α＞0）對稱，求α的最小值．

Answer 1

分析：（1）因為

a

=(sinx，2

3

cosx)，

b

=(2sinx，sinx)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求出

a

•

b

．再根據(jù)f(x)=

a

•

b

-1，就可求出（x）的解析式為．為y=Asin（ωx+φ）的形式，再根據(jù)x的范圍求f（x）的范圍．即可得到f（x）的值域；
（2）先由（1）所求f（x）的解析式求出對稱軸，為帶有參數(shù)k的無數(shù)多條，再根據(jù)函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=α（α＞0）對稱，可求出α的值，最后利用α的范圍求出其中最小的α值即可．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

-1=2sin2x+2

3

sinxcosx-1

= 3 sin2x-cos2x=2sin(2x- π 6 ) x∈[0， π 2 ]⇒2x- π 6 ∈[- π 6 ， 5π 6 ] ⇒sin(2x- π 6 )∈[- 1 2 ，1]⇒y∈[-1，2]

（2）∵由（1）y=2sin（2x-

π

6

）知，2x-

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，既x=

π

3

+2kπ，k∈Z為對稱軸．
又∵若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=α（α＞0）對稱，∴α=

π

3

+2kπ，k∈Z
∵α＞0，∴當(dāng)k=0時，αmin=

π

3

點評：平面向量是現(xiàn)行教材中的新增內(nèi)容，近年來的高考對向量內(nèi)容的考查逐步加強、漸趨完善，其中，向量與三角結(jié)合，既是一個熱點，也是一個亮點，以平面向量為載體，以三角函數(shù)為背景，綜合考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及平面向量的有關(guān)知識．求解本題，將|

m

+

n

|表示為θ的函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵，三角公式的靈活運用是基礎(chǔ)．在解題的過程中，要注意角的范圍的限制作用，以防止漏解或增解，確保解題準(zhǔn)確無誤．