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已知向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(cosx，
3
cos(π-x))，函數f(x)=
a
•
b
+
3
2

（1）求f（x）的最小正周期和單調遞減區(qū)間；
（2）將函數f（x）的圖象向左平移
π
4
單位，得到函數g（x）的圖象，求g（x）在[0，
π
2
]上的最小值，并寫出x相應的取值．
分析：（1）利用向量的數量積運算，將函數表示為三角函數式，再利用二倍角公式和兩角差的正弦公式，將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，利用周期公式求最小正周期，利用正弦函數的單調區(qū)間，求其單調減區(qū)間
（2）先利用平移變換理論寫出函數g（x）的解析式，再利用正弦函數的圖象和性質求函數的最小值即可
解答：解：（1）∵f(x)=
a
•
b
+
3
2
=sinxcosx-
3
cos2x+
3
2

=
1
2
sin2x-
3
2
（1+cos2x）+
3
2

=
1
2
sin2x-
3
2
cos2x-
3
2
+
3
2

=cos
π
3
sin2x-sin
π
3
cos2x
=sin（2x-
π
3
）
故f（x）的最小正周期為T=
2π
2
=π
由2kπ+
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
3π
2
得
kπ+
5π
12
≤x≤kπ+
11π
12
  k∈z
∴函數的f（x） 單調遞減區(qū)間為[kπ+
5π
12
，kπ+
11π
12
]k∈z
（2）由題意g（x）=sin[2（x+
π
4
）-
π
3
]=sin（2x+
π
6
）
∵x∈[0，
π
2
]，∴2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]
∴2x+
π
6
=
7π
6
，即x=
π
2
時，g（x）取得最小值sin
7π
6
=-
1
2
點評：本題考查了向量的數量積運算，三角變換公式的應用，y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象和性質
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；
③求函數f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數f（x）的圖象可以由函數y=sin2x（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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