Question

（14分）對(duì)于函數(shù),若存在，使成立，則稱點(diǎn)，

為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).

（1）若函數(shù)有不動(dòng)點(diǎn),求的解析表達(dá)式;

（2）若對(duì)于任意實(shí)數(shù),函數(shù)總有2個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

（3）若定義在上的函數(shù)滿足,且存在(有限的)個(gè)不動(dòng)點(diǎn),求證:必為奇數(shù).

Answer 1

解(1)由不動(dòng)點(diǎn)定義有即  ………………(2分)

將代入得：       解得. 

此時(shí)         …………………………………………………………… (4分)

(2)由條件知,對(duì)任意的實(shí)數(shù),方程總有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.

∴恒成立             ……………………………………(6分)

即對(duì)任意實(shí)數(shù),  恒成立.

從而, 解得……………………………………… (9分)

(3)顯然點(diǎn)是函數(shù)在上的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)………………………………… (10分)

若有異于的不動(dòng)點(diǎn),.則,

又則也是在上的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)………(12分)

所以, 的有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)除原點(diǎn)外,都是成對(duì)出現(xiàn)的,有個(gè),則在上

共有個(gè)不動(dòng)點(diǎn).因此,為奇數(shù)…………………………………………………(14分)