Question

已知函數(shù)f（x）滿足：f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）f（x₂），且f（1）=

3

2

，求證：當(dāng)n₁＜n₂屬于自然數(shù)時，f（n₁）＜f（n₂）

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)關(guān)系式先計算出f（0）=1，要得到結(jié)論只需證明當(dāng)n＜n+1屬于自然數(shù)時，f（n+1）-f（n）＞0即可．

解答： 證明：根據(jù)題意，得f（1）+f（1）=2f（1）f（0），
又f（1）=

3

2

，所以f（0）=1．
對任意的實數(shù)t，因為f（t+1）+f（t-1）=2f（t）f（1）
=2f（t）×

3

2

=3f（t），
所以f（t+1）-f（t）=2f（t）-f（t-1）…（*）
又當(dāng)x≥2時，f（

x

2

+

x

2

）+f（

x

2

-

x

2

）=2[f（

x

2

）]²，
即f（x）=2[f（

x

2

）]²-f（0）
=2[f（

x

2

）]²-1，
顯然對任意的正整數(shù)x，都有f（x）恒大于零…（**）．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n＜n+1屬于自然數(shù)時，f（n+1）-f（n）＞0
①當(dāng)n=1時，f（1+1）=2[f（1）]²-f（0）=2×(

3

2

)2-1=

7

2

＞

3

2

=f(1)，
即f（2）-f（1）＞0；
②假設(shè)n=k時成立，即f（k-1）＜f（k）．
則n=k+1時，由（*）及（**）可知
f（k+1）-f（k）=2f（k）-f（k-1）
＞2[f（k）-f（k-1）]＞0．
綜上，當(dāng)n₁＜n₂屬于自然數(shù)時，f（n₁）＜f（n₂）．

點評：本題考查抽象函數(shù)表達式的意義和應(yīng)用，靈活使用抽象函數(shù)的變形是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．