【題目】已知在點(diǎn)處的切線與直線平行.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)設(shè).
(i)若函數(shù)在上恒成立,求的最大值;
(ii)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn),并給出證明.
【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ)1;詳見解析.
【解析】
Ⅰ求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算時(shí)的導(dǎo)數(shù)即可求出a的值;Ⅱ求的導(dǎo)數(shù),討論當(dāng)和時(shí)的單調(diào)性,由單調(diào)性判斷最值即可得到b的最大值;化簡知0是的一個(gè)零點(diǎn),利用構(gòu)造函數(shù)法討論和時(shí),函數(shù)是否有零點(diǎn),從而確定函數(shù)的零點(diǎn)情況.
解:Ⅰ函數(shù),則,
由題意知時(shí),,即a的值為1;
Ⅱ,
所以,
當(dāng)時(shí),若,則,,單調(diào)遞增,所以;
當(dāng)時(shí),若,令,解得舍去,,
所以在內(nèi)單調(diào)遞減,,所以不恒成立,
所以b的最大值為1;
,顯然有一個(gè)零點(diǎn)為0,
設(shè),則;
當(dāng)時(shí),無零點(diǎn),所以只有一個(gè)零點(diǎn)0;
當(dāng)時(shí),,所以在R上單調(diào)遞增,
又,,
由零點(diǎn)存在性定理可知,在上有唯一一個(gè)零點(diǎn),
所以有2個(gè)零點(diǎn);
綜上所述,時(shí),只有一個(gè)零點(diǎn),時(shí),有2個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處取得極小值.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)設(shè),討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中,A(0,1),AB邊上的高CD所在直線的方程為x+2y-4=0,AC邊上的中線BE所在直線的方程為2x+y-3=0.
(1)求直線AB的方程;
(2)求直線BC的方程;
(3)求△BDE的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知矩形的四條邊都與橢圓相切,設(shè)直線AB方程為,求矩形面積的最小值與最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一半徑為的水輪,水輪圓心距離水面2,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)(按逆時(shí)針方向)3圈,當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)開始計(jì)時(shí),即從圖中點(diǎn)開始計(jì)算時(shí)間.
(1)當(dāng)秒時(shí)點(diǎn)離水面的高度_________;
(2)將點(diǎn)距離水面的高度(單位: )表示為時(shí)間(單位: )的函數(shù),則此函數(shù)表達(dá)式為_______________ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不垂直的是
A. B.
C. D.
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【題目】(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直接坐標(biāo)系中,直線l的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為.
(I)已知在極坐標(biāo)(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4,),判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系;
(II)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線l的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:.
(Ⅰ)、是拋物線上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn),若以為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn),試證明直線必過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,拋物線在、處的切線相交于點(diǎn),求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象如圖所示,令,則下列關(guān)于函數(shù)的說法中不正確的是( )
A. 函數(shù)圖象的對稱軸方程為
B. 函數(shù)的最大值為
C. 函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),使得在點(diǎn)處的切線與直線:平行
D. 方程的兩個(gè)不同的解分別為,,則最小值為
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