【題目】如圖,在直角三棱柱中,、分別為、的中點(diǎn),,.
(1)求證:平面;
(2)求證:平面平面;
(3)若直線和平面所成角的正弦值等于,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)如圖所示,取AB的中點(diǎn)M,連接MF,利用三角形中位線定理及其培訓(xùn)說不定判定定理可得四邊形MFC1E是平行四邊形,于是C1F∥EM,再利用線面平行的判定定理即可判斷出結(jié)論;
(2)由直三棱柱ABC﹣A1B1C1,可得BB1⊥底面ABC,BB1⊥AB,再利用線面垂直的判定定理面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論;
(3)由(2)可知:AB⊥BC.可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.求出平面ABE和平面CBE的法向量,代入公式,即可得到結(jié)果.
(1)證明:如圖所示,取AB的中點(diǎn)M,連接MF,
則MFAC,又EC1AC,
∴EC1MF,
∴四邊形MFC1E是平行四邊形,
∴C1F∥EM,又C1F平面ABE;
EM平面ABE;
∴C1F∥平面ABE.
(2)證明:由直三棱柱ABC﹣A1B1C1,∴BB1⊥底面ABC,
∴BB1⊥AB,又C1F⊥AB,BB1與C1F相交,
∴AB⊥平面ABE,又AB平面ABE,
∴平面ABE⊥平面B1BCC1;
(3)解:由(2)可知:AB⊥BC.
因此可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.F(0,1,0),設(shè)C1(0,2,t)(t>0),(0,1,t).
由題意可取平面ACC1A1的法向量為(1,1,0).
∵直線C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于,
∴|cos|,
解得t=2.
∴E(1,1,2),A(2,0,0),C(0,2,0),(2,0,0),(1,1,2),(0,2,0).
設(shè)平面ABE的法向量為(x,y,z),則0,
可得:x=0,x+y+2z=0,取y=2,可得:(0,2,﹣1).
同理可得平面CBE的法向量為(2,0,﹣1).
∴cos.
∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】阿基米德(公元前287年—公元前212年),偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他死后的墓碑上刻著一個(gè)“圓柱容球”的立體幾何圖形,為紀(jì)念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的,且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形,其表面積為,則該圓柱的內(nèi)切球體積為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系x-O-y中,已知曲線E:(t為參數(shù))
(1)在極坐標(biāo)系O-x中,若A、B、C為E上按逆時(shí)針排列的三個(gè)點(diǎn),△ABC為正三角形,其中A點(diǎn)的極角θ=,求B、C兩點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)在直角坐標(biāo)系x-O-y中,已知動點(diǎn)P,Q都在曲線E上,對應(yīng)參數(shù)分別為t=α與t=2α (0<α<2π),M為PQ的中點(diǎn),求 |MO| 的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在處取得極值,求函數(shù)在上的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化,某市舉辦了“高中生詩詞大賽”,現(xiàn)從全市參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取人的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖,其中成績的分組區(qū)間為,,,.
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)在所抽取的名學(xué)生中,用分層抽樣的方法在成績?yōu)?/span>的學(xué)生中抽取了一個(gè)容量為的樣本,再從該樣本中任意抽取人,求人的成績均在區(qū)間內(nèi)的概率;
(3)若該市有名高中生參賽,根據(jù)此次統(tǒng)計(jì)結(jié)果,試估算成績在區(qū)間內(nèi)的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交另一點(diǎn),若,求直線的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿足:對于其定義域內(nèi)的任何一個(gè)自變量,都有函數(shù)值,則稱函數(shù)在上封閉.
(1)若下列函數(shù):,的定義域?yàn)?/span>,試判斷其中哪些在上封閉,并說明理由.
(2)若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,是否存在實(shí)數(shù),使得在其定義域上封閉?若存在,求出所有的值,并給出證明;若不存在,請說明理由.
(3)已知函數(shù)在其定義域上封閉,且單調(diào)遞增,若且,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐S﹣ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,BA⊥AC,SA⊥AD,SC⊥CD.
(Ⅰ)求證:AC⊥SB;
(Ⅱ)若AB=AC=SA=3,E為線段BC的中點(diǎn),F為線段SB上靠近B的三等分點(diǎn),求直線SC與平面AEF所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,橢圓上動點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為3(-1).
(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 已知過點(diǎn)M(0,-1)的動直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),試判斷以線段AB為直徑的圓是否恒過定點(diǎn),并說明理由.
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