Question

【題目】已知拋物線Γ的準(zhǔn)線方程為.焦點(diǎn)為.

（1）求證：拋物線Γ上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程：

（2）請(qǐng)求出拋物線Γ的對(duì)稱性和范圍，并運(yùn)用以上方程證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)垂直于軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）關(guān)于對(duì)稱.證明見解析（3）（在拋物線內(nèi)）

【解析】

（1）由拋物線的定義可得|PF|＝d（d為P到準(zhǔn)線的距離），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，化簡(jiǎn)可得所求軌跡方程；

（2）由拋物線的方程的特點(diǎn)，考慮點(diǎn)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)的特征和對(duì)稱軸與準(zhǔn)線和拋物線的交點(diǎn)的關(guān)系，以及直線和拋物線相切的特點(diǎn)，可得所求范圍；

（3）設(shè)垂直于x軸的直線為x＝t，代入拋物線的方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及參數(shù)方程化為普通方程可得所求軌跡方程．

（1）拋物線Γ的準(zhǔn)線方程為x+y+2＝0，焦點(diǎn)為F（1，1），

拋物線Γ上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y），由拋物線的定義可得|PF|＝d（d為P到準(zhǔn)線的距離），即為，兩邊平方化簡(jiǎn)可得x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0；

（2）拋物線關(guān)于y＝x對(duì)稱，頂點(diǎn)為（0，0），范圍為x≥﹣1，y≥﹣1，

由方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0，

設(shè)拋物線上任一點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)為（y，x），滿足原方程，

則拋物線關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；

由直線y﹣1＝x﹣1即y＝x，聯(lián)立x+y+2＝0，解得x＝y＝﹣1，

可得拋物線的頂點(diǎn)為（0，0）；

由x＝﹣1和x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0聯(lián)立可得切點(diǎn)為（﹣1，3），

同樣由y＝﹣1和x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0聯(lián)立可得切點(diǎn)為（3，﹣1），

可得拋物線的范圍為x≥﹣1，y≥﹣1；

（3）設(shè)垂直于x軸的直線為x＝t，代入拋物線的方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0，

可得t2﹣（2t+8）y+ t2﹣8t＝0，

設(shè)A（t，y1），B（t，y2），可得y1+y2＝2t+8，

則AB的中點(diǎn)為（t，t+4），

則AB的中點(diǎn)的軌跡方程為直線y＝x+4（在拋物線內(nèi)）．