Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，-2）是直角△OAB的直角頂點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．
（1）求直線AB的方程； 
（2）求△OAB的外接圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A和原點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線OA的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出直線AB的斜率，然后由求出的斜率與點(diǎn)A的坐標(biāo)寫出直線AB的方程即可；
（2）由B為直線AB與x軸的交點(diǎn)，故令第一問求出的直線AB的方程中的y等于0，求出x的值即為B的橫坐標(biāo)，確定出B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段OB的中點(diǎn)坐標(biāo)即為外接圓圓心坐標(biāo)，線段OB的一半即為圓的半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，化為圓的一般式方程即可．

解答：解：（1）由△OAB為直角三角形，
得到OA⊥AB，又kOA=

-2-0

4-0

=-

1

2

，
∴k_AB=2，
∴直線AB的方程為y+2=2（x-4），即2x-y-10=0；
（2）由（1）可知：B（5，0）
∴直角△OAB的外接圓的圓心為線段OB的中點(diǎn)（

5

2

，0），r=

5

2

，
∴△OAB的外接圓的方程為(x-

5

2

)2+y2=

25

4

，即x²+y²-5x=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的一般方程，以及直線的一般式方程，要求學(xué)生掌握兩直線垂直斜率滿足的關(guān)系，會(huì)根據(jù)一點(diǎn)和斜率寫出直線的方程，會(huì)根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)要求學(xué)生掌握直角三角形外接圓的圓心即為斜邊的中點(diǎn)，半徑為斜邊長的一半，掌握此知識(shí)是解答第二小題的關(guān)鍵．