已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，
3
2
）且離心率為
3
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P向圓O：x2+y2=r2，（r＞0）引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B
（Ⅰ）若存在點(diǎn)P使∠APB=60°，求r的最大值；
（Ⅱ）在Ⅰ的條件下，過(guò)x軸上一點(diǎn)（m，0）做圓O的切線l，交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由于橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，
3
2
）且離心率為
3
2
．可得
1
a2
+
3
4b2
=1
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
，解得即可．
（2）（I）設(shè)P（2cosθ，sinθ）．如圖所示，連接OA，OB，OP．由于OA⊥AP，OB⊥BP．∠APB=60°，可得r=
1
2
|OP|=
1
2
4cos2θ+sin2θ
=
1
2
3cos2θ+1
，即可得出．
（II）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，切線l的方程為：x=±1．代入橢圓方程可得|MN|=
3
．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)切線l的方程為：y=k（x-m），（k≠0，|m|＞1），M（x1，y1），N（x2，y2）．利用直線與圓的相切性質(zhì)可得r=
|km|
1+k2
=1.1+k2=k2m2．
直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0．△=16（1+4k2-k2m2）＞0．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|MN|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=4
3
1
16-
8k2-1
k4+k2
．設(shè)k2=t＞0，令f（t）=
8t-1
t2+t
，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得：當(dāng)t=
1
2
時(shí)，f（t）取得最大值4，|MN|取得最大值2．當(dāng)t→+∞時(shí)，f（t）→0，|MN|→
3
．即可得出．
解答： 解：（1）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（1，
3
2
）且離心率為
3
2
．
∴
1
a2
+
3
4b2
=1
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
，解得a=2，b=1，c=
3
．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+y2=1．
（2）（I）設(shè)P（2cosθ，sinθ）．
如圖所示，連接OA，OB，OP．
∵OA⊥AP，OB⊥BP．∠APB=60°，
∴∠AOP=60°，∠APO=30°．
∴r=
1
2
|OP|=
1
2
4cos2θ+sin2θ
=
1
2
3cos2θ+1
≤
1
2
3+1
=1，
∴r的最大值是1．
（II）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，切線l的方程為：x=±1．代入橢圓方程可得y=±
3
2
，此時(shí)|MN|=
3
．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)切線l的方程為：y=k（x-m），（k≠0，|m|＞1），M（x1，y1），N（x2，y2）．
則r=
|km|
1+k2
=1．可得1+k2=k2m2．
聯(lián)立
y=k(x-m)
x2+4y2=4
，
化為（1+4k2）x2-8k2mx+4k2m2-4=0．
△=64k4m2-4（1+4k2）（4k2m2-4）=16（1+4k2-k2m2）＞0．
∴x1+x2=
8k2m
1+4k2
，x1x2=
4k2m2-4
1+4k2
．
∴|MN|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
(1+k2)[
64k4m2
(1+4k2)2
-
4(4k2m2-4)
1+4k2
]
=
4
(1+k2)(1+4k2-k2m2)
1+4k2
=4
3
•
k2(1+k2)
(1+4k2)2
=4
3
1
16-
8k2-1
k4+k2
．
設(shè)k2=t＞0，令f（t）=
8t-1
t2+t
，f′（t）=
8(t2+t)-(8t-1)(2t+1)
(t2+t)2
=
-(4t+1)(2t-1)
(t2+t)2
，可知：當(dāng)t=
1
2
時(shí)，f（t）取得最大值4，
∴|MN|取得最大值2．
當(dāng)t→+∞時(shí)，f（t）→0，|MN|→
3
．
綜上可得：|MN|的最小值為
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓及圓相交相切轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△≥0及根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)P，Q是兩個(gè)非空集，定義集合間的一種運(yùn)算“”：PQ={x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}．如果P={y|y=
4-x2
}，Q={y|y=4x，x＞0}，則PQ=（　　）
A、[0，1]∪（4，+∞）
B、[0，1]∪（2，+∞）
C、[1，4]
D、（4，+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

兩定點(diǎn)A（1，0），B（-1，0），動(dòng)點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，則
PA
•
PB
+
PQ
2=0
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程．
（2）直線l交y軸于點(diǎn)C（0，m），交軌跡E與M、N兩點(diǎn)，且滿足
MC
=3
CN
，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-1，直線y=k（x-1）（k＞0）與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)．
（1）若k=1，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）若
.
FA
 
.
.
FB
 
.
=
2
3
，求k的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
4
+
y2
b2
=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y=
1
4
x2的焦點(diǎn)重合，則該焦點(diǎn)到雙曲線
x2
4
-
y2
b2
=1的漸近線的距離等于
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

將函數(shù)y=2x2的圖象F按
a
=（-1，-1）平移至F′，則F′的函數(shù)解析式為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）是二次函數(shù)，若f（0）=3且f（x-1）=f（x）+2x-1，試求f（x）的表達(dá)式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

曲線y=1+
4-x2
與直線y=x+m只有一個(gè)公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、[-1，3]∪[2
2
+1]
B、[-1，3）
C、[-1，3）∪{2
2
+1}
D、[-1，3]

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

直線
x=2-
2
2
t
y=-1+
2
2
t
（t為參數(shù)）被圓x2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案