Question

（2013•婺城區(qū)模擬）己知函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx+co

s

2

x-

1

2

，△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且f（B）=1．
（I）求角B的大��；
（II）若a=

3

，b=1，求c的值．

Answer 1

分析：（I）由二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡(jiǎn)得f（x）=sin（2x+

π

6

），因此f（B）=sin（2B+

π

6

）=1，可得2B+

π

6

=

π

2

+2kπ（k∈Z），結(jié)合B為三角形的內(nèi)角即可求出角B的大小；
（II）根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB，結(jié)合題中的數(shù)據(jù)建立關(guān)于邊c的方程，解之即可得到邊c的值．

解答：解：（I）∵sinxcosx=

1

2

sin2x，cos²x=

1

2

（1+cos2x）
∴f(x)=

3

sinxcosx+co

s

2

x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）
∵f（B）=1，即sin（2B+

π

6

）=1
∴2B+

π

6

=

π

2

+2kπ（k∈Z），可得B=

π

6

+kπ（k∈Z）
∵B∈（0，π），∴取k=0，得B=

π

6

；
（II）根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得
1²=（

3

）²+c²-2

3

ccos

π

6

，
化簡(jiǎn)整理得c²-3c+2=0，解之得c=1或2．
即當(dāng)a=

3

，b=1時(shí)，邊c的值等于c=1或2．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)式，在已知f（B）=1的情況下求三角形的角B大小并依此解△ABC，著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)和利用正余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．