設(shè)數(shù)列的前項和為，已知(n∈N*).

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項和為，若存在整數(shù)，使對任意n∈N*且n≥2，都有成立，求的最大值；

（Ⅲ）令，數(shù)列的前項和為，求證：當n∈N*且n≥2時，.

（Ⅰ）    （Ⅱ） 18 （Ⅲ）見解析


解析:

（Ⅰ）由，得(n≥2).

兩式相減，得，即(n≥2).                  （1分）

于是，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.                    （2分）

又，所以.                                             （3分）

所以，故.                               （4分）

（Ⅱ）因為，則.    （5分）

令，則

.

所以

.

即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列.                           （7分）

所以當n≥2時，的最小值為.

據(jù)題意，，即.又為整數(shù)，故的最大值為18.           （8分）

（Ⅲ）因為，則當n≥2時，

.                                         （9分）

據(jù)柯西不等式，有.

于是.   （11分）

又據(jù)柯西不等式，有

.

故.                                                      （13分）

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且

，

其中為常數(shù).

(Ⅰ)求與的值；

(Ⅱ)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；

(Ⅲ)證明：不等式對任何正整數(shù)都成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列的前項和為，已知對任意正整數(shù)，都有成立。

（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：。

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（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）問數(shù)列中是否存在某三項，它們可以構(gòu)成一個等差數(shù)列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（全國卷Ⅱ） 題型：解答題

（本小題滿分12分）
設(shè)數(shù)列的前項和為。已知，，。
（Ⅰ）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆河南省高二第一次月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

 設(shè)數(shù)列的前項和為，已知

（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并寫出關(guān)于的表達式；

（Ⅱ）若數(shù)列前項和為，問滿足的最小正整數(shù)是多少?

 

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