Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b為實數(shù)），
（1）若f（x）滿足不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3），且方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根，求f（x）的解析式；
（2）若c=1，f（-1）=0且對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立；當(dāng)x∈[-3，3]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）
即ax²+（b+2）x+c＞0的解集為（1，3）
∴?，
∵方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根
即ax²+bx+c+6a=0有兩個相等的實根△=b²-4a（c+6a）=0（2），
將（1）代（2）解得（舍），
∴
∴．
（2）f（x）=ax²+bx+1∵f（-1）=0∴a-b+1=0（3）
∵對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立∴△=b²-4a≤0將（3）代入得（a-1）²≤0
∴a=1b=2∴f（x）=x²+2x+1
∵g（x）=x²+（2-k）x+1在[-3，3]單調(diào)
∴∴
∴k≤-4或k≥8．
分析：（1）根據(jù)給出的不等式的解集為（1，3），列出關(guān)于a、b、c的不等式組，然后再根據(jù)方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根，其判別式等于0求解出a的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）根據(jù)f（-1）=0列一個關(guān)于a、b、c的方程，再由對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立，說明其對應(yīng)方程的判別式恒小于等于0，求解出函數(shù)f（x）后，借助于二次函數(shù)的對稱軸與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系求解實數(shù)k的取值范圍．
點評：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，同時考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，分析二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要考慮的就是二次函數(shù)對稱軸所處的位置．