欲修建一橫斷面為等腰梯形(如圖1)的水渠,為降低成本必須盡量減少水與渠壁的接觸面,若水渠橫斷面面積設(shè)計(jì)為定值S,渠深h,則水渠壁的傾角α(0°<α<90°)應(yīng)為多大時(shí),方能使修建成本最低?
當(dāng)α=60°時(shí),修建成本最低.
解析試題分析:作BE⊥DC于E(圖略),在Rt△BEC中,BC=,CE=hcotα,又AB-CD=2CE=2hcotα,AB+CD=,故CD=-hcotα.
設(shè)y=AD+DC+BC,則y= (0°<α<90°),由于S與h是常量,欲使y最小,只需u=取最小值,u可看作(0,2)與(-sinα,cosα)兩點(diǎn)連線的斜率,由于α∈(0°,90°),點(diǎn)(-sinα,cosα)在曲線x2+y2=1(-1<x<0,0<y<1)上運(yùn)動(dòng),當(dāng)過(0,2)的直線與曲線相切時(shí),直線斜率最小,此時(shí)切點(diǎn)為(-,),則有sinα=,且cosα=,那么α=60°,故當(dāng)α=60°時(shí),修建成本最低.
考點(diǎn):三角函數(shù)的運(yùn)用
點(diǎn)評(píng):解決的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)的定義表示邊長(zhǎng)和長(zhǎng)度,以及修建的成本,屬于中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
某產(chǎn)品在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的總產(chǎn)量為100t,平均分成若干批生產(chǎn)。設(shè)每批生產(chǎn)需要投入固定費(fèi)用75元,而每批生產(chǎn)直接消耗的費(fèi)用與產(chǎn)品數(shù)量x的平方成正比,已知每批生產(chǎn)10t時(shí),直接消耗的費(fèi)用為300元(不包括固定的費(fèi)用)。
(1)若每批產(chǎn)品數(shù)量為20t,求此產(chǎn)品在一個(gè)生產(chǎn)周期的總費(fèi)用(固定費(fèi)用和直接消耗的費(fèi)用)。
(2)設(shè)每批產(chǎn)品數(shù)量為xt,一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的總費(fèi)用y元,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求
出y的最小值。
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已知函數(shù),.
(Ⅰ)解方程:;
(Ⅱ)設(shè),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值的表達(dá)式;
(Ⅲ)若,,求 的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,在邊長(zhǎng)為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形,再把它沿虛線折起,做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體箱子,箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí),箱子的容積最大?最大容積是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知二次函數(shù).
(1)若,試判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)是否存在,使同時(shí)滿足以下條件
①對(duì)任意,且;
②對(duì)任意,都有。若存在,求出的值,若不存在,請(qǐng)說明理由。
(3)若對(duì)任意且,,試證明存在,
使成立。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,一水渠的橫斷面是拋物線形,O是拋物線的頂點(diǎn),口寬EF=4米,高3米建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求拋物線方程.
現(xiàn)將水渠橫斷面改造成等腰梯形ABCD,要求高度不變,只挖土,不填土,求梯形ABCD的下底AB多大時(shí),所挖的土最少?
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已知函數(shù)
(1)若不等式的解集為,求的取值范圍;
(2)解關(guān)于的不等式;
(3)若不等式對(duì)一切恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題12分)某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)2013年1月份起前個(gè)月的旅游人數(shù)的和(單位:萬人)與的關(guān)系近似滿足已知第月的人均消費(fèi)額(單位:元)與的近似關(guān)系是
(1)寫出2013年第x月的旅游人數(shù)(單位:萬人)與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)試問2013年哪個(gè)月的旅游消費(fèi)總額最大,最大旅游消費(fèi)額為多少萬元?
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