Question

【題目】已知右焦點(diǎn)為F（c，0）的橢圓M： =1（a＞b＞0）過點(diǎn) ，且橢圓M關(guān)于直線x=c對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點(diǎn)（4，0）且不垂直于y軸的直線與橢圓M交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱原點(diǎn)為E，證明：直線PE與x軸的交點(diǎn)為F．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知：橢圓M： =1（a＞b＞0）焦點(diǎn)在x軸上，

橢圓過點(diǎn) ，即 ，

橢圓M關(guān)于直線x=c對(duì)稱的圖形過坐標(biāo)原點(diǎn)，

∴a=2c，

由a2=b2+c2，則b2= a2，

解得：a2=4，b2=3，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）證明：設(shè)直線PQ的方程為：y=k（x﹣4），k≠0，

∴ ，整理得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，

∵過點(diǎn)P0（4，0）且不垂直于x軸的直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，

∴由△=（﹣32k2）2﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，得：k∈（﹣ ， ），

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），E（x4，﹣y4），

則x1+x2= ，x1x2= ，

則直線AE的方程為y﹣y1= （x﹣x1），

令y=0得：x=﹣y1 +x1= = = = =1．

∴直線PE過定點(diǎn)（1，0），

由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則直線PE與x軸的交點(diǎn)為F．

【解析】（1）由題意可知：橢圓M： =1（a＞b＞0）焦點(diǎn)在x軸上，將點(diǎn) 代入橢圓上，即 ，a=2c，則b2= a2，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線PQ的方程為：y=k（x﹣4），k≠0，代入橢圓方程，得（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，由根的判別式得到k∈（﹣ ， ），由韋達(dá)定理及直線的方程代入x=﹣y1 +x1=1，由此能證明直線AE過定點(diǎn)（1，0），由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則直線PE與x軸的交點(diǎn)為F．